Est

Est-ce que ? Et qu'en est-il de Je suis confus par les relations. Cela semble intuitivement être le cas. S'il est correct, comment puis-je le prouver mathématiquement. J'ai cherché sur ce site et ailleurs ... $E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$ $E[E(X|Y=y)|Z=z] =E[X|Y=y,Z=z]$

conditional-expectation

— KUZ
source

Est-ce une question d'un cours ou d'un manuel? Si oui, veuillez ajouter la [self-study]balise et lire son wiki .

— gung - Rétablir Monica

Non, cela ne vient pas d'un cours ou d'un manuel. J'essaye juste de comprendre par moi-même.

— KUZ

Ces deux attentes conditionnelles diffèrent en général:
$E [E (X | Y) | Z] \neq E [X | Y, Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z] \ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$

En fait, à proprement parler, ils ne vivent même pas dans le même espace fonctionnel que le premier est fonction de , mesurable par rapport à , l' algèbre induite par , tandis que la seconde est une fonction de , donc mesurable par rapport à , l' algèbre induite par , $Z$ $\sigma(Z)$ $\sigma$ $Z$ $(Y,Z)$ $\sigma(Y,Z)$ $\sigma$ $(Y,Z)$

À titre de contre-exemple, considérez le paramètre lorsque

$X$ et sont indépendants $Y$
$X$ et sont dépendants, avec $Z$ $\mathbb{E}[X|Z]\ne \mathbb{E}[X]$

Ensuite, en raison de l'indépendance entre et , et donc $X$ $Y$ $\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}[X]$

E [E (X | Y) | Z] = E [X] \neq E [X | Y, Z]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]= \mathbb{E}[X]\ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$

Une égalité valide est à la place qui s'applique à toutes les relations de dépendance entre les trois variables aléatoires.

E [E (X | Y, Z) | Z] = E [X | Z]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y,Z)|Z]=\mathbb{E}[X|Z]$

Notations: la différence entre les notations et est-ce $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ est une variable aléatoire, transformée de la variable aléatoire (et non de la variable aléatoire puisque Y est également conditionnée à ); $Z$ $Y$ $Y$ $Z$
$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ est fonction apparemment de et , mais en fait seulement de (comme expliqué ci-dessous) qui n'a pas de signification claire de un point de vue probabiliste . En effet, pour une valeur donnée , est une constante pour laquelle prendre une attente conditionnelle conditionnelle à la réalisation n'a pas de sens car elle renvoie également . Par exemple, si dépend à la fois de et de comme variable aléatoire, pour une réalisation donnée de $y$ $z$ $y$ $y$ $\mathbb{E}(X|Y=y)$ $Z=z$ $\mathbb{E}(X|Y=y)$ $X$ $Y$ $X$ $y$ $Y$ et de , est une constante qui diffère généralement de et de . Mais n'est pas une réalisation de la variable aléatoire . La réalisation correcte est $Z$ $z$ $\mathbb{E}(X|Y=y)$ $\mathbb{E}(X)$ $\mathbb{E}(X|Y=y,Z=z)$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z=z]$

— Xi'an
source

Merci pour ce commentaire, Xi'an. Je ne suis pas sûr de votre réponse sur une chose: dans votre contre-exemple, si X et Y sont indépendants (donc

E (X | Y) = E [X]

$\mathbb{E}(X|Y)= \mathbb{E}[X]$ ) et si X et Z sont dépendants, alors pourquoi

E [E (X | Y) | Z] = E [E (X) | Z] = E [X]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]= \mathbb{E}[\mathbb{E}(X)|Z]= \mathbb{E}[X]$ ?

— KUZ

..parce que

E [X]

$\mathbb{E}[X]$ est une constante ...

— Xi'an