Quelle est la différence entre une variable aléatoire et un échantillon aléatoire?

Ces deux expressions m'ont beaucoup dérouté lorsque j'apprenais les statistiques. Il me semble que ce sont des choses totalement différentes.

Un échantillon aléatoire consiste à prélever au hasard un échantillon dans une population, tandis qu'une variable aléatoire est comme une fonction qui mappe l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience sur un nombre réel.

Cependant, disons que si je tire des échantillons , , et , où et sont inconnus, est-ce que , , des échantillons aléatoires ou des variables aléatoires?$X_1$$X_2$$X_3$$X_i \sim N(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma$$X_1$$X_2$$X_3$

Oui, une variable aléatoire , , est une fonction de l'espace d'échantillonnage à la ligne réelle. Il s'agit d'une formule déterministe qui peut être aussi simple que d'écrire le nombre sur lequel un dé atterrit dans l'expérience aléatoire de lancer un dé. L'expérience est aléatoire, dans la mesure où nous ne contrôlons pas de nombreux facteurs physiques déterminant son résultat; cependant, dès que le dé atterrit, la variable aléatoire associe le résultat dans le monde physique à un nombre.$X:\Omega \rightarrow \mathbb R$

D'autres exemples pourraient comprendre la mesure de la hauteur d'un échantillon de huit élèves, peut-être pour déduire les paramètres de la population (y compris la moyenne et la variance). Chaque garçon ou fille serait une expérience aléatoire, un peu comme lancer une pièce. Cependant, une fois qu'un sujet est sélectionné, la correspondance réelle avec un nombre en pouces ou en centimètres n'est pas sujette au hasard, malgré son nom de "variable aléatoire".

Un groupe de telles expériences constituerait un échantillon :

En statistiques, un échantillon aléatoire simple est un sous-ensemble d'individus (un échantillon) choisi parmi un ensemble plus large (une population). Chaque individu est choisi au hasard et entièrement par hasard, de sorte que chaque individu a la même probabilité d'être choisi à n'importe quelle étape du processus d'échantillonnage, et chaque sous-ensemble de individus a la même probabilité d'être choisi pour l'échantillon que tout autre sous-ensemble de k individus.$k$$k$

Je pense que dans l'OP sont un échantillon d'une distribution normale (bien que vous ne l'ayez pas précisé, je pense que c'était l'intention), et chacun des X i est un réalisation de la variable aléatoire.$\{X_1, X_2, X_3\}$$X_i$

Voici un article identique sur Quora et un article parallèle sur Math SE .

Aussi, je recommande fortement la série de conférences du professeur Krishna Jagannathan de l'IIT. Il est diplômé du MIT et possède la série en ligne la plus accessible sur la probabilité, introduisant doucement la théorie des mesures. Formidable!

$X_i$$X$