Deux quantiles d'une distribution bêta déterminent-ils ses paramètres?

Si je donne deux quantiles $(q_1,q_2)$ et leurs emplacements correspondants $(l_1,l_2)$ (chacun) dans l'intervalle ouvert $(0,1)$ , puis-je toujours trouver les paramètres d'une distribution bêta qui a ces quantiles à les emplacements spécifiés?

La réponse est oui, à condition que les données satisfassent à des exigences de cohérence évidentes. L'argument est simple, basé sur une construction simple, mais il nécessite une certaine configuration. Cela se résume à un fait intuitivement attrayant: l'augmentation du paramètre $a$ dans une distribution bêta $(a,b)$ augmente la valeur de sa densité (PDF) plus pour $x$ plus grand que $x$ plus petit ; et augmenter $b$ fait le contraire: plus $x$ est petit , plus la valeur du PDF augmente.

Les détails suivent.

Soit le quantile $q_1$ souhaité soit $x_1$ et le quantile $q_2$ souhaité soit $x_2$ avec $1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$ et (donc) $1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$ . Ensuite, il existe des $a$ et $b$ uniques pour lesquels la distribution bêta $(a,b)$ a ces quantiles.

La difficulté à démontrer cela est que la distribution bêta implique une constante de normalisation récalcitrante. Rappelons la définition: pour $a\gt 0$ et $b \gt 0$ , la distribution Beta $(a,b)$ a une fonction de densité (PDF)

La constante de normalisation est la fonction bêta

Tout devient compliqué si nous essayons de différencier $f(x;a,b)$ directement par rapport à $a$ et $b$ , ce qui serait le moyen de force brute pour tenter une démonstration.

Une façon d'éviter d'avoir à analyser la fonction bêta est de noter que les quantiles sont des aires relatives . C'est,

pour $i=1,2$ . Voici, par exemple, le PDF et la fonction de distribution cumulative (CDF) $F$ d'un Beta $(1.15, 0.57)$ de distribution pour lesquels $x_1=1/3$ et $q_1=1/6$ .

La fonction de densité $x\to f(x;a,b)$ est tracée à gauche. $q_1$ est l' aire sous la courbe à gauche de $x_1$ , indiquée en rouge, par rapport à l'aire totale sous la courbe. $q_2$ est l'aire à gauche de $x_2$ , égale à la somme des régions rouge et bleue, encore une fois par rapport à l'aire totale . Le CDF à droite montre comment $(x_1,q_1)$ et $(x_2,q_2)$ marquez deux points distincts dessus.

Sur cette figure, $(x_1,q_1)$ a été fixé à $(1/3,1/6)$ , $a$ a été choisi pour être de $1.15$ , et une valeur de $b$ a été trouvée pour laquelle $(x_1,q_1)$ se trouve sur le CDF bêta $(a,b)$ .

Lemme : Un tel $b$ peut toujours être trouvé.

Pour être précis, que $(x_1, q_1)$ soit fixé une fois pour toutes. (Ils restent les mêmes dans les illustrations qui suivent: dans les trois cas, l'aire relative à gauche de $x_1$ est égale à $q_1$ ) Pour tout $a\gt 0$ , le lemme affirme qu'il existe une valeur unique de $b$ , écrite $b(a),$ pour lequel $x_1$ est le quantile $q_1$ de la bêta $(a,b(a))$ Distribution.

Pour voir pourquoi, notons d'abord que lorsque $b$ approche de zéro, toute la probabilité s'accumule près des valeurs de $0$ , d'où $F(x_1;a,b)$ approche $1$ . Lorsque $b$ approche de l'infini, toute la probabilité s'accumule près des valeurs de $1$ , d'où $F(x_1;a,b)$ s'approche de $0$ . Entre les deux, la fonction $b\to F(x_1;a,b)$augmente strictement en $b$ .

Cette affirmation est géométriquement évidente: cela revient à dire que si nous regardons l'aire à gauche sous la courbe $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ rapport à l'aire totale sous la courbe et la comparons à la aire relative sous la courbe $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ pour b ′ >b, alors cette dernière aire estrelativementplus grande. Le rapport de ces deux fonctions est ( 1 - x ) b ′ - b . Il s'agit d'une fonction égale à 1 lorsque x = 0 , passant régulièrement à 0 lorsque x = 1.$b^\prime \gt b$$(1-x)^{b^\prime-b}$$1$$x=0,$$0$$x=1.$ Par conséquent, les hauteurs de la fonction $x\to f(x;a,b^\prime)$ sont relativement plus grandes que les hauteurs de $x\to f(x;a,b)$ pour $x$ à gauche de$x_1$ que pour$x$ à droite de$x_1.$ Par conséquent, lazoneà gauche de$x_1$ dans le premier doit êtrerelativementplus grande que la zone à droite de$x_1.$ (C'est simple à traduire en un argument rigoureux en utilisant une somme de Riemann, par exemple.)

Nous avons vu que la fonction $b\to f(x_1;a,b)$ est strictement croissante de façon monotone avec des valeurs limites à $0$ et $1$ en tant que $b\to 0$ et $b\to\infty,$ respectivement. Il est également (clairement) continu. Par conséquent, il existe un certain nombre$b(a)$ où$f(x_1;a,b(a))=q_1$ et ce nombre est unique, prouvant le lemme.

Le même argument montre qu'à mesure que $b$ augmente, l'aire à gauche de $x_2$ augmente. Par conséquent, les valeurs de $f(x_2;a, b(a))$ varient sur un certain intervalle de nombres au fur et à mesure que $a$ progresse de presque $0$ à presque $\infty.$ La limite de $f(x_2;a,b(a))$ comme$a\to 0$ est$q_1.$

Voici un exemple où $a$ est proche de $0$ (il est égal à $0.1$ ). Avec $x_1=1/3$ et $q_1=1/6$ (comme dans la figure précédente),$b(a) \approx 0.02.$ Il n'y a presque pas de zone entre$x_1$ et$x_2:$

Le CDF est pratiquement plat entre $x_1$ et $x_2,$ où $q_2$ est pratiquement au-dessus de $q_1.$ Dans la limite $a\to 0$ , $q_2 \to q_1.$

À l'autre extrême, des valeurs suffisamment grandes d' $a$ plomb à $F(x_2;a,b(a))$ arbitrairement proches de$1.$ Voici un exemple avec$(x_1,q_1)$ comme précédemment.

Ici, $a=8$ et $b(a)$ est près de $10.$ Maintenant $F(x_2;a,b(a))$ est essentiellement $1:$ il n'y a presque pas d'aire à droite de $x_2.$

Par conséquent, vous pouvez sélectionner n'importe quel $q_2$ entre $q_1$ et $1$ et ajuster $a$ jusqu'à $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ Tout comme auparavant, ce$a$ doit être unique,QED.

Le Rcode de travail pour trouver des solutions est affiché à Déterminer les paramètres de distribution bêta et β à partir de deux points arbitraires (quantiles)$\alpha$$\beta$ .