Calcul de l'attente conditionnelle sur les -algèbres

Je n'ai pas vraiment vu de livres de probabilité calculer l'espérance conditionnelle, à l'exception des algèbres générées par une variable aléatoire discrète. Ils déclarent simplement l'existence de l'attente conditionnelle, ainsi que ses propriétés, et en restent là. Je trouve cela un peu dérangeant et j'essaie de trouver une méthode pour le calculer. C'est ce que je pense qu'il "devrait être". $\sigma$

Soit un espace de probabilité avec une -algèbre. Soit une variable aléatoire. Notre objectif est de calculer . $(\Omega, \mathscr{F},\mu)$ $\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}$ $\sigma$ $\xi:\Omega\to \mathbb{R}$ $E[\xi|\mathscr{G}]$

Corrige , nous devons calculer . Let être tel . L'intuition dit que est une approximation de la valeur de , à condition bien sûr que que nous supposons maintenant. $\omega\in \Omega$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $A\in \mathscr{G}$ $\omega\in A$ $E[\xi|A] = \frac1{\mu(A)}\int_A \xi$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $\mu(A) \not = 0$

L'intuition dit également que, si nous pouvons trouver un événement plus petit , avec , et , alors est une meilleure approximation de que . $B\subseteq A$ $\omega\in B$ $\mu(B) \not = 0$ $E[\xi|B]$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $E[\xi|A]$

Par conséquent, cette approximation optimale de devrait être où , avec , et avec le propriété minimale . La propriété minimum ici est tout simplement si avec , puis . $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $E[\xi|M]$ $M\in \mathscr{G}$ $\omega\in M$ $A\in \mathscr{G}$ $\omega\in A$ $M\subseteq A$

Mais il y a deux problèmes:

(i) Un tel existe-t-il même? Si est tout au plus dénombrable, cela est trivialement vrai. Supposons donc que est effectivement dénombrable. $M$ $\mathscr{G}$ $\mathscr{G}$

(ii) Et si , alors n'est pas défini! Dans ce cas, nous supposerons que nous pouvons produire une séquence d'événements , telle que et . $\mu(M) = 0$ $E[\xi|M]$ $M_n\in \mathscr{G}$ $M_n \downarrow M$ $\mu(M_n) > 0$

L'intuition dit que

E [ξ | G] (ω) = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{M_{n}} ξ = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}}

$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{M_n}\xi =\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n}$

Pour vérifier la réalité, le théorème de convergence monotone implique, continuité dans la mesure implique, Ainsi, notre limite est de la forme indéterminée " ", qui c'est ce que nous voulons.

\int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}} \to \int_{Ω} ξ . 1_{M} = \int_{Ω} 0 = 0

$\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n} \to \int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M} = \int_{\Omega} 0 = 0$

μ (M_{n}) \to μ (M) = 0

$\mu(M_n) \to \mu(M) = 0$

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

1) Ce calcul calculera-t-il correctement l'espérance conditionnelle?

2) Quelles sont les hypothèses sur l'espace de probabilité pour que cela se vérifie?

— Nicolas Bourbaki
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En plus: C'est un théorème bien connu qu'aucune algèbre sigma n'est dénombrable, donc votre (i) a besoin d'une révision, car il suppose essentiellement la finitude de.

| G |

$|\mathcal{G}|$

— Cardinal

@cardinal L'algèbre générée par une simple variable aléatoire sera dénombrable.

σ

$\sigma$

— Nicolas Bourbaki

L' algèbre d'une variable aléatoire simple sera finie, ce qui, de concert avec le résultat que j'ai mentionné ci-dessus, simplifie considérablement votre (i).

σ

$\sigma$

— Cardinal

Vous devriez vous pencher sur le paradoxe du

— borel

Cela ne répond pas à la question mais fournit une sorte de "contre-exemple". Pas tout à fait, mais cela résout un problème potentiel qui peut se produire lorsque vous utilisez votre intuition pour approximer l'approximation conditionnelle.

Le livre de Brezniak, "Basic Stochastic Processes", calcule l'exercice d'espérance conditionnelle suivant via la définition formelle. J'ai refait son exemple en utilisant la 'méthode des approximations' comme demandé dans le post original.

Prenons l'exemple suivant. avec la mesure standard de Lebesgue. $\Omega = [0,1]$ $\mu$

Définissez les variables aléatoires, et. Nous allons calculer . Étant donné , l'espérance conditionnelle devrait être égale à . Cependant, l'événement est l'ensemble , qui est de mesure zéro, et donc n'est pas défini. $\xi(\omega) = 2\omega^2$ $\eta(\omega) = 1 - |2\omega - 1|$ $E[\xi|\eta]$ $\omega\in \Omega$ $E[\xi|\eta](\omega)$ $E[\xi|\eta = \eta(\omega)]$ $(\eta = \eta(\omega))$ $\{ \omega,1-\omega\}$ $[\xi|\eta = \eta(\omega)]$

Nous allons donc approximer l'événement . Choisissez un petit et construisez l'événement . Les événements approchent et approchent dans la limite tandis que nous réduisons le . De plus, . $A=\{\omega,1-\omega\}$ $\varepsilon > 0$ $A_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup \{ 1 - \omega \}$ $A_{\varepsilon}$ $A$ $A$ $\varepsilon$ $\mu(A_{\varepsilon}) = 2\varepsilon$

On calcule, dans la limite, Mais ce n'est pas la bonne réponse!

E [ξ | A_{ε}] = \frac{1}{2 ε} \int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t \to 2 ω^{2}

$E[\xi|A_{\varepsilon}] = \frac{1}{2\varepsilon} \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \to 2\omega^2$

Cependant , si nous approchons par alors, Quelle est la bonne réponse! $B_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup [1- \omega - \varepsilon,1-\omega + \varepsilon]$

E [ξ | B_{ε}] = \frac{1}{4 ε} {\int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t + \int_{1 - ω - ε}^{1 - ω + ε} 2 t^{2} d t} \to ω^{2} + (1 - ω)^{2}

$E[\xi|B_{\varepsilon}] = \frac{1}{4\varepsilon} \left\{ \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt + \int_{1-\omega - \varepsilon}^{1-\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \right\} \to \omega^2 + (1-\omega)^2$

Pourquoi une approche fonctionne-t-elle et l'autre non? De toute évidence, dans la première approximation, les ensembles d'approximation n'appartenaient pas à l' algèbre générée par . Dans la seconde approximation, les ensembles d'approximation appartenaient à . $A_{\omega}$ $\sigma$ $\xi$ $B_{\omega}$ $\sigma(\xi)$

— Nicolas Bourbaki
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