Corrélation entre sinus et cosinus

Supposons que soit uniformément distribué sur . Laissez et . Montrer que la corrélation entre et est nulle. $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

Il semble que j'aurais besoin de connaître l'écart type du sinus et du cosinus, ainsi que leur covariance. Comment puis-je les calculer?

Je pense que je dois supposer que a une distribution uniforme, et regardez les variables transformées et . Ensuite, la loi du statisticien inconscient donnerait la valeur attendue $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ et

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(la densité est constante car il s'agit d'une distribution uniforme, et peut donc être déplacée hors de l'intégrale).

Cependant, ces intégrales ne sont pas définies (mais ont des valeurs principales de Cauchy de zéro je pense).

Comment pourrais-je résoudre ce problème? Je pense que je connais la solution (la corrélation est nulle car le sinus et le cosinus ont des phases opposées) mais je ne trouve pas comment la dériver.

— uklady
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Comme indiqué, votre problème n'est pas suffisamment défini. La corrélation est un concept qui s'applique aux variables aléatoires, pas aux fonctions. (Formellement, une variable aléatoire est une sorte de fonction, à savoir une fonction mesurable d'un espace de probabilité aux nombres réels équipés de la mesure de Borel. Mais le simple fait de dire "la fonction sinus" ne vous dit rien sur la mesure de probabilité dans le domaine, qui vous fournit des informations probabilistes, y compris des distributions conjointes.)

— Kodiologist

Si je suppose que le temps est une variable aléatoire uniforme ( dans mon texte), n'est-il pas possible de le faire? Je veux dire que je regarderais alors la corrélation de deux variables aléatoires transformées.

X

$X$

— uklady

Donc, vous voulez que uniformément distribué, puis vous définissez et ? C'est bien, sauf que vous devez également spécifier le support de la densité de , car il n'y a pas de distribution uniforme sur l'ensemble de , ou tout autre intervalle infiniment long.

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Kodiologist

Je pourrais peut-être prendre comme support (je supposerais que , donc l'intervalle contient un cycle complet). Je suppose que les problèmes d'intégration disparaîtront également

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— uklady

Si vous faites cela, il vous suffit de dessiner un nuage de points - aucune intégration n'est nécessaire. Ce nuage de points est une distribution uniforme sur le cercle unitaire (évidemment). Puisque le cercle est symétrique sous toute réflexion à travers l'origine, la corrélation est égale à son négatif, d'où il doit être nul, QED .

— whuber

Depuis

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

la corrélation doit également être 0.

— Kodiologue
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J'aime vraiment l'argument de @ whuber par symétrie et je ne veux pas qu'il soit perdu en tant que commentaire, alors voici un peu d'élaboration.

Considérons le vecteur aléatoire , où et , pour . Ensuite, parce que paramètre le cercle unitaire par la longueur de l'arc, est distribué uniformément sur le cercle unitaire. En particulier, la distribution de est la même que la distribution de . Mais alors $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

il doit donc être que . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Juste un bel argument géométrique.

— Matthew Drury
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