Le coefficient de corrélation de l'échantillon est-il un estimateur non biaisé du coefficient de corrélation de la population?

Est-il vrai que est un estimateur sans biais pour ? Autrement dit, $R_{X,Y}$ $\rho_{X,Y}$

E [R_{X, Y}] = ρ_{X, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

Sinon, qu'est-ce qu'un estimateur sans biais pour ? (Peut-être y a-t-il un estimateur standard sans biais qui est utilisé? De plus, est-il analogue à la variance de l'échantillon sans biais, où nous effectuons simplement l'ajustement simple de la multiplication de la variance de l'échantillon biaisé par ?) $\rho_{X,Y}$ $\frac{n}{n-1}$

Le coefficient de corrélation de population est défini comme tandis que le coefficient de corrélation d'échantillon est défini comme

ρ_{X, Y} = \frac{E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{E [{(X - μ_{X})}^{2}]} \sqrt{E [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

R_{X, Y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation

— Kenny LJ
source

A (un peu similaire) question au sujet estimateurs de .

ρ

$\rho$

— ttnphns

La question «qu'est-ce que l'estimateur sans biais» suppose qu'il y en a un et qu'il n'y en a qu'un. A priori , il ne semble pas y avoir de raison de penser cela.

$\qquad$

— Michael Hardy

@ MichaelHardy: J'ai corrigé cela. Merci de l'avoir signalé.

— Kenny LJ

Je suis juste tombé sur ce fil, et je pense que cela pourrait être une lecture intéressante sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715298000352 (je ne l'ai pas encore lu moi-même tbh)

— martn

estimateur sans biais de variance minimale: projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706717

— Sextus Empiricus

Ce n'est pas une question facile mais certaines expressions sont disponibles. Si vous parlez de la distribution normale en particulier, alors la réponse est NON ! Nous avons

E \hat{ρ} = ρ [1 - \frac{(1 - ρ^{2})}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

$n^{-2}$

$\rho = 0$ $|\rho| = 1$ $\frac{1}{n}$

$\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$

— JohnK
source

Il peut y avoir une infinité de termes dans l'expression ci-dessus, mais «termes infinis» serait qu'il y a des termes, chacun étant infini.

$\qquad$

— Michael Hardy

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$

| 1 |

$|1|$

Pour une question connexe, quelqu'un sait-il s'il existe des résultats analogues pour d'autres distributions en plus de la normale 2D?

— Riemann1337