L'attente n'est pas définie.
Soit iid selon toute distribution avec la propriété suivante: il existe un nombre positif et un positif tel queXiFhϵ
F(x)−F(0)≥hx(1)
pour tous les . Cette propriété est vraie de toute distribution continue, telle une distribution normale, dont la densité est continue et non nulle à , alors , ce qui nous permet de prendre pour toute valeur fixe comprise entre et .0<x<ϵf0F(x)−F(0)=f(0)x+o(x)h0f(0)
Pour simplifier l'analyse, je supposerai également et , qui sont tous deux vrais pour toutes les distributions normales. (Ce dernier peut être assuré en remaniant si nécessaire. Le premier n'est utilisé que pour permettre une simple sous-estimation d'une probabilité.)F(0)>01−F(1)>0F
Soit et surestimons la fonction de survie du rapport commet>1
Pr(X(i+1)X(i)>t)=Pr(X(i+1)>tX(i))>Pr(X(i+1)>1, X(i)≤1/t)>Pr(X(i+1)>1, 1/t≥X(i)>0, 0≥X(i−1)).
Cette dernière probabilité est la chance que exactement du dépasse , exactement un se situe dans l'intervalle , et les restants (le cas échéant) ne sont pas positifs. En termes de cette chance est donnée par l'expression multinomialen−iXj1(0,1/t]i−1F
(nn−i,1,i−1)(1−F(1))n−i(F(1/t)−F(0))F(0)i−1.
Lorsque , l'inégalité fournit une borne inférieure proportionnelle à , ce qui montre quet>1/ϵ(1)1/t
La fonction de survie de , a une queue se comportant asymptotiquement comme : c'est-à-dire pour un nombre positif .S(t)X(i+1)/X(i)1/tS(t)=a/t+o(1/t)a
Par définition, l'attente de toute variable aléatoire est l'attente de sa partie positive plus l'attente de sa partie négative . Puisque la partie positive de l'attente - si elle existe - est l'intégrale de la fonction de survie (de à ) etmax(X,0)−max(−X,0)0∞
∫x0S(t)dt=∫x0(1/t+o(1/t))dt∝log(x),
la partie positive de l'espérance de diverge.X(i+1)/X(i)
Le même argument appliqué aux variables montre la partie négative des attentes divergentes. Ainsi, l'attente du ratio n'est même pas infinie: elle n'est pas définie.−Xi