Afficher l'estimation converge vers le centile grâce aux statistiques de commande

Soit une séquence de variables aléatoires iid échantillonnées à partir d'une distribution alpha stable , avec les paramètres .$X_1, X_2, \ldots, X_{3n}$$\alpha = 1.5, \; \beta = 0, \; c = 1.0, \; \mu = 1.0$

Considérons maintenant la séquence , où , pour .$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$$Y_{j+1} = X_{3j+1}X_{3j+2}X_{3j+3} - 1$$j=0, \ldots, n-1$

Je veux estimer le centile.$0.01-$

Mon idée est de faire une sorte de simulation Monte-Carlo:

l = 1;
while(l < max_iterations)
{
  Generate $X_1, X_2, \ldots, X_{3n}$ and compute $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$;
  Compute $0.01-$percentile of current repetition;
  Compute mean $0.01-$percentile of all the iterations performed;
  Compute variance of $0.01-$percentile of all the iterations performed;
  Calculate confidence interval for the estimate of the $0.01-$percentile;

  if(confidence interval is small enough)
    break;

}

L' appel de la moyenne de l' ensemble de l'échantillon centiles calculée pour être μ n et leur variance σ 2 n , pour calculer l'intervalle de confiance approprié pour μ , je recours à la forme forte du théorème central limite :$0.01-$$\hat{\mu}_n$$\hat{\sigma}^{2}_{n}$$\mu$

Soit une suite de iid variables aléatoires avec E [ X i ] = μ et 0 < V [ X i ] = σ 2 < ∞ . Définir la moyenne échantillon μ n = ( 1 / n ) Σ n i = 1 X i . Ensuite, ( μ n - μ ) $X_1, X_2, \ldots$$E \left[ X_i \right] = \mu$$0 < V \left[ X_i \right] = \sigma^2 < \infty$$\hat{\mu}_n = (1/n) \sum_{i=1}^n X_i$ a une distribution normale standard limite, c'est-à-dire $(\hat{\mu}_n - \mu) / \sqrt{\sigma^{2}/n}$

$$\frac{\hat{\mu}_n - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/n}} \overset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow N(0,1).$$

et le théorème de Slutksy pour conclure que

$$\sqrt{n} \frac{\hat{\mu}_n - \mu}{\sqrt{\hat{\sigma}^{2}_{n}}} \overset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow N(0,1).$$

Alors un intervalle de confiance pour est$(1-\alpha)\times 100\%$$\mu$

$$I_{\alpha} = \left[\hat{\mu}_n - z_{1- \alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}_{n}}{n}} , \hat{\mu}_n + z_{1- \alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}_{n}}{n}} \right],$$ où est le -quantile de la distribution normale standard. ( 1 - α / 2 $z_{1- \alpha / 2}$$(1- \alpha / 2)$

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Des questions:

1) Mon approche est-elle correcte? Comment puis-je justifier l'application du CLT? Je veux dire, comment puis-je montrer que la variance est finie? (Dois-je regarder la variance de ? Parce que je ne pense pas que ce soit fini ...)$Y_j$

2) Comment puis-je montrer que la moyenne de tous les échantillons$0.01-$ centiles calculé converge vers la valeur réelle du percentile? (Je devrais utiliser les statistiques de commande mais je ne sais pas comment procéder; les références sont appréciées.)$0.01-$

La variance de n'est pas finie. $Y$ En effet , une variable alpha-stable avec α = trois / 2 (une répartition Holtzmark ) n'a une attente finie μ mais sa variance est infinie. Si Y avait une variance finie σ 2 , alors en exploitant l'indépendance du X i et la définition de la variance, nous pourrions calculer$X$$\alpha=3/2$$\mu$$Y$$\sigma^2$$X_i$

$$\eqalign{ \sigma^2 = \operatorname{Var}(Y) &= \mathbb{E}(Y^2) - \mathbb{E}(Y)^2 \\ &= \mathbb{E}(X_1^2X_2^2X_3^2) - \mathbb{E}(X_1X_2X_3)^2 \\ &= \mathbb{E}(X^2)^3 - \left(\mathbb{E}(X)^3\right)^2 \\ &= \left(\operatorname{Var}(X) + \mathbb{E}(X)^2\right)^3 - \mu^6 \\ &= \left(\operatorname{Var}(X) + \mu^2\right)^3 - \mu^6. }$$

$\operatorname{Var}(X)$$\operatorname{Var}(X)$

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Passons à la deuxième question.

Tout quantile d'échantillon converge vers le vrai quantile lorsque l'échantillon grandit. Les paragraphes suivants prouvent ce point général.

$q=0.01$$0$$1$$F$$Z_q=F^{-1}(q)$$q^{\text{th}}$

$F^{-1}$$\epsilon\gt 0$$q_-\lt q$$q_+\gt q$

$$F(Z_q - \epsilon) = q_-,\quad F(Z_q + \epsilon) = q_+,$$

$\epsilon\to 0$$[q_-, q_+]$$\{q\}$

$n$$Z_{q_-}$$(q_-, n)$$q_-$$Z_{q_-}$$n$$Z_{q_-}$$nq_-$$nq_-(1-q_-)$$\Phi$$nq$

$$1-\Phi\left(\frac{nq - nq_-}{\sqrt{nq_-(1-q_-)}}\right) = 1-\Phi\left(\sqrt{n}\frac{q - q_-}{\sqrt{q_-(1-q_-)}}\right).$$

$\Phi$$\sqrt{n}$$n$$\Phi$$1$

$nq$$Z_{q_-}$$nq$$Z_{q_+}$$q$$Z_q-\epsilon$$Z_q+\epsilon$

$\epsilon$$1-\alpha$$n$$nq$$1-\alpha$$\epsilon$$Z_q$

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$q=0.50$

$q=0.01$$Y$$n=300$$Y$

library(stabledist)
n <- 3e2
q <- 0.01
n.sim <- 1e3

Y.q <- replicate(n.sim, {
  Y <- apply(matrix(rstable(3*n, 3/2, 0, 1, 1), nrow=3), 2, prod) - 1
  log(-quantile(Y, 0.01))
})
m <- median(-exp(Y.q))
hist(Y.q, freq=FALSE, 
     main=paste("Histogram of the", q, "quantile of Y for", n.sim, "iterations" ),
     xlab="Log(-Y_q)",
     sub=paste("Median is", signif(m, 4), 
               "Negative log is", signif(log(-m), 4)),
     cex.sub=0.8)
abline(v=log(-m), col="Red", lwd=2)