Quelle est la différence entre l'impartialité asymptotique et la cohérence?

Est-ce que chacun implique l'autre? Sinon, l'un implique-t-il l'autre? Pourquoi pourquoi pas?

Ce problème est survenu en réponse à un commentaire sur une réponse que j'ai publiée ici .

Bien que google recherchant les termes pertinents n'ait rien produit qui semblait particulièrement utile, j'ai remarqué une réponse sur l'échange de pile mathématique. Cependant, je pensais que cette question était également appropriée pour ce site.

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Par rapport à la réponse math.stackexchange, je cherchais quelque chose de plus approfondi, couvrant certains des problèmes traités dans le fil de commentaire @whuber lié . De plus, comme je le vois, la question math.stackexchange montre que la cohérence n'implique pas une impartialité asymptotique mais n'explique pas grand-chose, sinon rien, pourquoi. Le PO là-bas tient également pour acquis que l'impartialité asymptotique n'implique pas la cohérence, et donc le seul répondeur jusqu'à présent ne explique pas pourquoi.

— user1205901 - Réintégrer Monica
source

Discussion de discussion pertinente commençant ici.

— Stephan Kolassa

Les concepts liés à cette question sont largement discutés dans les commentaires suivants stats.stackexchange.com/a/31038/919 .

— whuber

Et un fil de suivi de la discussion liée par @whuber est ici: stats.stackexchange.com/questions/120584 .

— amibe dit Réintégrer Monica

Dans le post connexe sur math.se , le répondeur considère que la définition de l'impartialité asymptotique est . $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Intuitivement, je ne suis pas d'accord: «impartialité» est un terme que nous apprenons d'abord par rapport à une distribution (échantillon fini). Il apparaît alors plus à considérer naturelle « asymptotique non biaisé » par rapport à une asymptotique distribution. Et en fait, c'est ce que font Lehmann et Casella dans "Theory of Point Estimation (1998, 2e éd.) , P. 438 Définition 2.1 (notation simplifiée):

$If k_{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ) \to_{d} H$ $\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$
pour une séquence et pour une variable aléatoire , l'estimateur est asymptotiquement sans biais si la valeur attendue de est nulle. $k_n$ $H$ $\hat \theta_n$ $H$

Compte tenu de cette définition, nous pouvons affirmer que la cohérence implique une impartialité asymptotique puisque

{\hat{θ}}_{n} \to_{p} θ ⟹ {\hat{θ}}_{n} - θ \to_{p} 0 ⟹ {\hat{θ}}_{n} - θ \to_{d} 0

$\hat \theta_n \to_{p}\theta \implies \hat \theta_n - \theta \to_{p}0 \implies \hat \theta_n - \theta \to_{d}0$

... et la distribution dégénérée qui est égale à zéro a une valeur attendue égale à zéro (ici la séquence est une séquence de uns). $k_n$

Mais je soupçonne que ce n'est pas vraiment utile, c'est juste un sous-produit d'une définition de l'impartialité asymptotique qui permet des variables aléatoires dégénérées. Essentiellement, nous aimerions savoir si, si nous avions une expression impliquant l'estimateur qui converge vers un rv non dégénéré, la cohérence impliquerait toujours une impartialité asymptotique.

Plus haut dans le livre (p. 431 Définition 1.2), les auteurs appellent la propriété comme " impartialité dans la limite ", et cela ne signifie pas coïncident avec une impartialité asymptotique. $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

L'impartialité de la limite est suffisante (mais pas nécessaire) pour assurer la cohérence à la condition supplémentaire que la séquence des variances de l'estimateur atteigne zéro (ce qui implique que la variance existe en premier lieu).

Pour les subtilités liées à la cohérence avec une variance non nulle (un peu ahurissant), visitez ce post .

— Alecos Papadopoulos
source

Dois-je comprendre correctement que dans la définition peut être n'importe quelle variable aléatoire (c'est-à-dire pour une séquence et un etc.)? Si oui, cela pourrait peut-être être mentionné

H

$H$

k_{n}

$k_n$

H

$H$

— Juho Kokkala

Il est regrettable que cette réponse n'enhardisse que "le biais dans la limite est suffisant" et non "sous la condition supplémentaire que la séquence des variances de l'estimateur atteigne zéro". Il est facile de se tromper ici, car cette condition supplémentaire est cruciale pour cette "suffisance".

— daegan