Existe-t-il une autre interprétation pour une distribution Gamma avec un paramètre de forme non entier?

Il est bien connu qu'une variable aléatoire étant distribuée Gamma avec le paramètre de forme entière $k$ est équivalente à la somme des carrés de $k$ variables aléatoires normalement distribuées.

Mais que puis-je dire à propos d'une variable aléatoire distribuée gamma avec non entier $k$ ? Existe-t-il une autre interprétation que la distribution Gamma?

probability gamma-distribution

— stollenm
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Le gamma avec le paramètre de forme

est la somme des carrés de

variables aléatoires normalement distribuées. Le gamma avec le paramètre de forme

est la somme des distributions exponentielles

iid.

k / 2

$k/2$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Greenparker

Une autre interprétation du gamma avec entier

: c'est le temps d'attente jusqu'à la

ème arrivée dans un processus de Poisson unidimensionnel d'intensité

k

$k$

k

$k$

1 / θ

$1/\theta$

— Stephan Kolassa

Si et sont indépendants alors En particulier, si , il est distribué avec la même distribution que $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

X + Y \sim G (α + β, 1)

$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

pour tout

. (Cette propriété est appeléedivisibilité infinie.) Cela signifie que, si

lorsque

n'est pas un entier,

a la même distribution que

avec

indépendant de

X_{1} + \dots + X_{n} \sim G (α, 1) X_{i} \overset{iid}{\sim} G (α / n, 1)

$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$

n \in N

$n\in\mathbb N$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

α

$\alpha$

X

$X$

Y + Z

$Y+Z$

Z

$Z$

Y

$Y$

Cela implique également que les formes à valeur entière

n'ont pas de signification particulière pour Gammas.

Y \sim G (⌊ α ⌋, 1) Z \sim G (α - ⌊ α ⌋, 1)

$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$

α

$\alpha$

Inversement, si avec , il a la même distribution que lorsque est indépendant de et Et donc la distribution est invariante dans $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $\alpha<1$ $YU^{1/\alpha}$ $Y$ $U\sim{\cal U}(0,1)$

Y \sim G (α + 1, 1)

$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$

G (α, 1)

${\cal G}(\alpha,1)$

X \sim (X^{'} + ξ) U^{1 / α} X, X^{'} \sim G (α, 1) U \sim U (0, 1) ξ \sim E (1)

$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$

— Xi'an
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