estimateur cohérent racine-n, mais racine-n ne converge pas?

J'ai entendu le terme «estimateur cohérent racine-n» utilisé à plusieurs reprises. D'après les ressources qui m'ont été fournies, j'ai pensé qu'un estimateur cohérent "root-n" signifiait que:

l'estimateur converge vers la vraie valeur (d'où le mot "cohérent")
l'estimateur converge à un taux de $1/\sqrt{n}$

Cela me laisse perplexe, car ne converge pas? Suis-je en train de manquer quelque chose de crucial ici? $1/\sqrt{n}$

convergence estimators consistency

— Candic3
source

Cela signifie .

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ) = O_{p} (1)

$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)=O_p(1)$

— hejseb

mais est une variable, alors comment calculeriez-vous cela?

\hat{θ}

$\hat\theta$

— Candic3

@hejseb, j'apprécie votre réponse, merci. Pourriez-vous s'il vous plaît expliquer en mots? Cela m'aide à être capable de verbaliser, plutôt que de simplement regarder des symboles.

— Candic3

Bonne question! Mais je suis confus par l'affirmation selon laquelle ne converge pas, qu'entendez-vous par là?

1 / \sqrt{n}

$1/\sqrt n$

— Silverfish

Vous confondez la séquence avec la série dont le terme général est . Le premier converge vers lorsque grandit tandis que le second diverge. Cependant, ce dernier n'est pas pertinent.

1 / \sqrt{n} = 1 / 1, 1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{3}, \dots

$1/\sqrt{n} = 1/1, 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{3}, \ldots$

\sum_{i = 1}^{n} 1 / \sqrt{k}

$\sum_{i=1}^n 1/\sqrt{k}$

1 / 1 + 1 / \sqrt{2} + 1 / \sqrt{3} + \dots + 1 / \sqrt{n}

$1/1 + 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{3} + \cdots + 1/\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

— whuber

Ce que veut dire hejseb, c'est que est "borné en probabilité", en gros, la probabilité que prenne "extrême" "valeurs est" petit ". $\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)$ $\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)$

Maintenant, diverge évidemment vers l'infini. Si le produit de et est borné, cela doit signifier que va à zéro en probabilité, officiellement , et en particulier au taux si le produit doit être borné. Formellement, est juste une autre façon de dire que nous avons de la cohérence - l'erreur "disparaît" comme . Notez que ne serait pas suffisant (voir les commentaires) pour la cohérence, car cela signifierait seulement que l'erreur $\sqrt{n}$ $\sqrt{n}$ $(\hat\theta-\theta)$ $(\hat\theta-\theta)$ $\hat\theta-\theta=o_p(1)$ $1/\sqrt{n}$

\hat{θ} - θ = O_{p} (n^{- 1 / 2})

$\hat\theta-\theta=O_p(n^{-1/2})$

\hat{θ} - θ = o_{p} (1)

$\hat\theta-\theta=o_p(1)$

n \to \infty

$n\to\infty$

\hat{θ} - θ = O_{p} (1)

$\hat\theta-\theta=O_p(1)$

\hat{θ} - θ

$\hat\theta-\theta$ est borné, mais pas qu'il va à zéro.

— Christoph Hanck
source

Ainsi, pour qu'un estimateur soit "cohérent", il doit avoir une valeur constante , car s'il s'agissait de , alors l'estimation divergerait à mesure que n augmenterait.

O (1)

$O(1)$

O (n)

$O(n)$

— Candic3

Non, pas tout à fait, voir mon montage.

— Christoph Hanck