Qu'est-ce qu'une matrice de covariance isotrope (sphérique)?

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer en termes simples ce qu'est une matrice de covariance isotrope? Je ne trouve rien en ligne.

terminology covariance-matrix definition

— tester
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Une matrice de covariance est appelée isotrope , ou sphérique , si elle est proportionnée à la matrice d'identité: c'est-à dire qu'elle est diagonale et tous les éléments sur la diagonale sont égaux. $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Cette définition ne dépend pas du système de coordonnées; si nous faisons pivoter le système de coordonnées avec une matrice de rotation orthogonale , alors la matrice de covariance se transformera en c'est-à dire qu'il restera le même. $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ I \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ I = λ I,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Intuitivement, la matrice de covariance isotrope correspond à un nuage de données "sphérique". Une sphère reste une sphère après rotation.

— amibe
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Que faire si les variables peuvent être tournées pour accéder à la matrice de covariance ?

λ I

$\lambda \mathbf I$

— Aksakal

@Aksakal Voir la mise à jour.

— amibe

+1. Mais curieusement, une définition complètement différente de "isotrope" s'applique également à parce que - comme cela est habituel avec les matrices de covariance - il représente une forme quadratique sur un espace vectoriel réel. Mais dans cet autre sens, la seule matrice de covariance isotrope est la matrice zéro!

C

$C$

— whuber

@whuber Intéressant! Je ne me souvenais pas qu'il existe une notion de formes quadratiques "isotropes". Mais en lisant la définition maintenant, aucune matrice de covariance avec au moins une valeur propre nulle ne serait-elle "isotrope" dans ce sens?

— amibe

Vous avez raison - j'ai mal spécifié le quantificateur. Par définition, une forme quadratique isotrope a au moins un vecteur isotrope non nul (plutôt que tous les vecteurs étant isotropes).

— whuber

$|x - x'|$

Edit: désolé j'ai mal lu, pour la matrice, la bonne réponse est celle de l'amibe.

— micro
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La question porte sur la matrice de covariance . Bien sûr, une matrice peut être considérée comme une fonction, mais je suppose que cela nécessite une élaboration pour l'OP.

— amibe