Cette distribution a-t-elle un nom?

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Il m'est venu à l'esprit aujourd'hui que la distribution pourrait être considéré comme un compromis entre les distributions gaussienne et de Laplace, pourettelle distribution a-t-elle un nom? Et a-t-il une expression pour sa constante de normalisation? Le calcul m'arrête, car je ne sais même pas comment commencer à résoudre pourdans l'intégrale

f (x) \propto \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = C \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β}) d x

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

— Sycorax dit de réintégrer Monica
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Réponse courte

Le pdf que vous décrivez est mieux connu sous le nom de distribution Subbotin ... voir l'article en 1923 de Subbotin qui a exactement la même forme fonctionnelle, avec disons $Y = X-\mu$ .

Subbotin, MT (1923), Sur la loi de la fréquence d'erreur, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301.

qui saisit le pdf à son équation 5, de forme:

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

avec constante d'intégration: , selon la dérivation de Xian où $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ $\beta = \sigma^p$

Réponse plus longue

Wikipédia n'est malheureusement pas toujours «à jour», précis, ou parfois juste 80 ans en retard. Après Subbotin (1923), la distribution a été largement utilisée dans la littérature, notamment:

Diananda, PH (1949), Note sur certaines propriétés des estimations du maximum de vraisemblance, Actes de la Cambridge Philosophical Society, 45, 536-544.
Turner, ME (1960), On heuristic estimation methods, Biometrics, 16 (2), 299-301.
Zeckhauser, R. et Thompson, M. (1970), Régression linéaire avec des termes d'erreur non normaux, The Review of Economics and Statistics, 52, 280-286.
McDonald, JB et Newey, WK (1988), Estimation partiellement adaptative des modèles de régression via la distribution t généralisée, Econometric Theory, 4, 428-457.
Johnson, NL, Kotz, S. et Balakrishnan, N. (1995), Continuous Univariate Distributions, volume 2, 2e édition, Wiley: New York (1995, p.422)
Mineo, AM et Ruggieri, M. (2005), A software tool for the Exponential Power distribution: the normalp package, Journal of Statistical Software, 12 (4), 1-21.

... le tout avant le document référencé sur Wiki. En plus d'être 80 ans obsolète, le nom utilisé sur le wiki `` un normal généralisé '' semble également inapproprié car il existe une infinité de distributions qui sont des généralisations du normal, et le nom est, en tout état de cause, ambigu pour la littérature. Il ne reconnaît pas non plus l'auteur d'origine.

— Wolfies
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\int_{0}^{\infty} \exp {- x^{p}} d x \overset{y = x^{p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = y^{1 / p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{p} y^{\frac{1}{p} - 1} d y = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$ Hence

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} | x - μ |^{p}} d x = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

— Xi'an
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D'oh. Of course. And chance you happen to know if it has a name?

— Sycorax says Reinstate Monica

1

It is somewhat connected with the[ Weibull and Fréchet distributions](en.wikipedia.org/wiki/…), however those have a power term in front of the exponential. It is thus more of a Gaussian distribution for another metric that the quadratic distance.

— Xi'an

1

+1 It wouldn't be wrong to call this a "power Gamma" distribution.

— whuber

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According to Wikipedia, this is known as Generalized normal distribution (version 1 in the article), and the restriction $p\in [1,2]$ is not required but any positive value is fine.

La référence donnée dans Wikipedia est Saralees Nadarajah (2005) A generalized normal distribution , Journal of Applied Statistics, 32: 7, 685-694, DOI: 10.1080 / 02664760500079464. Cet article mentionne que la constante de normalisation est trouvée par «simple intégration» - je présume à la suite de la réponse de Xi'an.

— Juho Kokkala
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