Conjecture liée à la loi Kolmogorov 0-1 (pour les événements)

Laisser $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$ être un espace de probabilité. Conjecture:

Supposons que nous ayons les événements st , ou . Il existe une séquence indépendante d'événements st $A_1, A_2, ...$ $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...)$ $P(A) = 0$ $1$ $B_1, B_2, ...$

$τ_{A_{n}} := ⋂_{n} σ (A_{n}, A_{n + 1}, . . .) = ⋂_{n} σ (B_{n}, B_{n + 1}, . . .) := τ_{B_{n}}$ $\tau_{A_n} := \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) = \bigcap_n \sigma(B_n, B_{n+1}, ...) := \tau_{B_n}$

Est-ce vrai?

Je pense qu'il existe une fonction st sont indépendantes pour que nous puissions choisir . Est-ce vrai? Pourquoi pourquoi pas? Sinon, comment puis-je prouver ou infirmer la conjecture ci-dessus? Si c'est vrai, je pense que cela peut être prouvé en modifiant la preuve de la loi Kolmogorov 0-1 (pour les événements). $f: \mathbb N \to \mathbb N$ $A_{f(n)}$ $B_n = A_{f(n)}$

Peut-être que l'une de ces sous-séquences d'ensembles est indépendante:

A_{n}

$A_n$

A_{2 n}, A_{2 n + 1}

$A_{2n}, A_{2n+1}$

A_{3 n}, A_{3 n + 1}, A_{3 n + 2}

$A_{3n}, A_{3n+1}, A_{3n+2}$

⋮

$\vdots$

A_{m n}, A_{m n + 1}, A_{m n + 2}, . . ., A_{m n + (m - 1)}

$A_{mn}, A_{mn+1}, A_{mn+2}, ..., A_{mn+(m-1)}$

⋮

$\vdots$

Je pense que nous avons ça

τ_{A_{n}} = τ_{A_{m n + i}} := ⋂_{n} σ (A_{m n + i}, A_{m (n + 1) + i}, . . .)

$\tau_{A_n} = \tau_{A_{mn+i}} := \bigcap_n \sigma(A_{mn+i}, A_{m(n+1)+i}, ...)$

où et . $m \in \mathbb N$ $i \in \{0, 1, 2, ..., m-1\}$

Il semble que nous ayons besoin d'un tel , s'il existe, pour satisfaire la condition suivante: $f(n)$

\begin{matrix} (**) & σ (A_{f (n)}, A_{f (n + 1)} . . .) \subseteq σ (A_{n}, A_{n + 1}, . . .) \end{matrix}

$\sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}...) \subseteq \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) \tag{**}$

ce qui, je suppose, est vrai si (et seulement si?) $f(n) \ge n$ .

Autres candidats possibles pour : $f(n)$ (supposons que les variables sont st est satisfait. Si besoin est, ou aussi.) $f: \mathbb N \to \mathbb N$ $(**)$ $f(n) \ge n$

$\sum_{i=0}^{m} a_i n^i$
$2^n, 3^n, ...$
$\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n$
$\lfloor{t^n}\rfloor, \lceil{t^n}\rceil$ ( je suppose que $t > e^{1/e}$ )
$\lfloor{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rfloor, \lceil{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rceil$
$\lfloor{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rfloor, \lceil{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rceil$
$\lfloor{\text{Some linear combination of the above}}\rfloor, \lceil{\text{Some linear combination of the above}}\rceil$

En supposant que la conjecture est vraie , je suppose qu'il n'est pas nécessaire de trouver qui fonctionne pour toutes les séquences possibles d'événements car un tel peut même ne pas exister. $f(n)$ $A_1, A_2, ...$ $f(n)$

Pour réfuter la conjecture : je suppose que nous devons montrer qu'une telle séquence étant indépendante implique que tail ne sera jamais égal à tail puisque tail sera trivial par Kolmogorov 0-1 Law (pour les événements). $B_n$ $B_n$ $A_n$ $B_n$ $\mathbb P-$

Quelque chose qui pourrait aider: nous pourrions montrer que ou et n'est pas indépendant, mais je ne suis pas sûr que la conjecture soit réfutée parce que nous pourrait construire des qui ressemblent à: $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...), P(A) = 0$ $1$ $\forall n \in \mathbb N, A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...$ $B_n$

$B_{n} = A_{n + 1} ∖ A_{n}$ $B_n = A_{n+1} \setminus A_n$
$B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1}, A_{0} = \emptyset$ $B_n = A_{n} \setminus A_{n-1}, A_0 = \emptyset$
$B_{n} = ⋂_{m} A_{m n}$ $B_n = \bigcap_m A_{mn}$
$B_{n} = ⋃_{m} A_{m n}$ $B_n = \bigcup_m A_{mn}$
$B_{2 n} = ⋂_{m} A_{m n}, B_{2 n + 1} = ⋃_{m} A_{m n}$ $B_{2n} = \bigcap_m A_{mn}, B_{2n+1} = \bigcup_m A_{mn}$
$B_{n} = \underset{m}{lim sup} A_{m n}$ $B_n = \limsup_m A_{mn}$
$B_{n} = \underset{m}{lim inf} A_{m n}$ $B_n = \liminf_m A_{mn}$
$B_{2 n} = \underset{m}{lim sup} A_{m n}, B_{2 n + 1} = \underset{m}{lim inf} A_{m n}$ $B_{2n} = \limsup_m A_{mn}, B_{2n+1} = \liminf_m A_{mn}$

Cela ne veut pas dire, bien sûr, que ces satisfont mais que n'a pas besoin d'être sous la forme . $B_n$ $\tau_{A_n} = \tau_{B_n}$ $B_n$ $A_{f(n)}$

Borel-Cantelli:

Si . Par conséquent, est indépendant. $\sum_n P(A_n) < \infty \to 0 = P(\limsup A_n) = P(\limsup A_{mn}) \ \forall m \in \mathbb N$ $B_m = \limsup A_{mn}$
Si , alors peut - être cette extension de Borel-Cantelli ? Je ne suis pas sûr de bien comprendre ou comment cela serait utile. Je ne pense pas que nous puissions conclure quoi que ce soit si nous avons . $\sum_n P(A_n) = \infty$ $P(\limsup A_n)$
Ensuite, il y a le cas de mais les conditions précédentes ne sont pas remplies. $\sum_n P(A_n) = \infty$

— BCLC
source

Peut-être une preuve par construction, où ?

B_{1} = A_{1}, B_{2} = A_{2} - A_{1}, \dots

$B_1 = A_1, B_2 = A_2 - A_1, \dots$

— jbowman

Pour moi, cette conjecture ne semble pas être vraie à moins que vous ajoutiez des conditions supplémentaires ou que vous vouliez dire que les deux achèvements de l'algèbre d'accord (ce qui est presque trivial). Cependant, je ne vois pas de contre-exemple.

σ

$\sigma$

— P.Windridge

Dans tous les cas, je pense que vous pouvez commencer par la question (plus simple): "Soit un espace de probabilité. Supposons est une -algèbre générée numériquement et qui ou pour tout événement . Existe-t-il une séquence d'événements indépendants in avec queue -algèbre ?

(Ω, F, P)

$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$

G \subset F

$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$

σ

$\sigma$

P (A) = 0

$\mathbb{P}(A)= 0$

1

$1$

A \in G

$A \in \mathcal{G}$

B_{1}, B_{2}, \dots

$B_1,B_2,\ldots$

F

$\mathcal{F}$

σ

$\sigma$

G

$\mathcal{G}$

— P.Windridge

Une -algèbre est générée numériquement s'il existe st . Il est simple de trouver des exemples où l'algorithme tail n'est pas généré de façon dénombrable.

σ

$\sigma$

G

$\mathcal{G}$

F_{1}, F_{2}, \dots

$F_1,F_2,\ldots$

G = σ (F_{1}, F_{2}, \dots)

$\mathcal{G} = \sigma(F_1,F_2,\ldots)$

σ

$\sigma$

— P.Windridge

Plus généralement, une sous- algèbre d'une algèbre générée numériquement peut ne pas être elle-même générée numériquement! Regardez en fait l'exercice 1.1.18 dans math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf

σ

$\sigma$

σ

$\sigma$

— P.Windridge

Si vous voulez que les événements soient indépendants de manière intéressante (pas simplement parce que ou ) alors la conjecture est fausse. $B_n$ $\mathbb{P}(B_n) = 0$ $\mathbb{P}(B_n) = 1$

Voici un exemple pédant. Supposons que est un espace de probabilité suffisamment riche. $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

Soit être -null, c'est-à-dire . Prenez , de sorte que la queue -algèbre soit . $A \in \mathcal{F}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{P}(A) =0$ $A_i = A$ $\sigma$ $\mathcal{G} = \{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$

Notez qu'en particulier, est fini. $\mathcal{G}$

Supposons maintenant que soit une séquence d'événements indépendante avec délimitée par et . Ensuite, la queue -algèbre n'est pas générée de façon dénombrable. (Voir par exemple l'exercice 1.1.18 http://math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , qui utilise un argument comme je l'ai expliqué ci-dessus - tout -trivial -algebra généré un atome de masse , mais n'a pas un tel atome). $B_1, B_2, \ldots$ $\mathbb{P}(B_n)$ $0$ $1$ $\sigma$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $1$ $\mathcal{H}$

Donc, est fini mais n'est même pas généré de façon dénombrable. $\mathcal{G}$ $\mathcal{H}$

Édition 2: si vous acceptez $\mathbb{P}(B_n) = 0$ vous pouvez répliquer tout -trivial -algebra généré numériquement . Plus en détail, supposons que est généré par les événements . Si est -trivial alors les sont tous indépendants, en vertu d'être nuls (ou étant nuls). Faites maintenant une construction triangulaire pour les événements : , , . $\mathbb{P}$ $\sigma$ $\mathcal{G}$ $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ $\mathbb{P}$ $E_n$ $E_n^c$ $B$ $B_{1,1} = E_1$ $B_{2,1} = E_1, B_{2,2} = E_2,\ldots,B_{k,j} = E_j$ $1\le j \le k$

Alors est une séquence dénombrable (avec un ordre naturel pour les indices) d'événements indépendants dont la queue -algèbre est . $(B_{k,j})$ $\sigma$ $\mathcal{G}$

Donc, ici, je pense que c'est la question clé: supposons que est une queue mathématique générée numériquement -algèbre (provenant d'événements non nuls qui pourraient être dépendants). Peut être réalisé comme la queue -algèbre pour certains événements nuls? $\mathcal{G}$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $\mathcal{G}$ $\sigma$

Édition 1: une zone grise se produit si vous acceptez , bien que cela ne semble pas être l'idée maîtresse de la question d'origine. $\mathbb{P}(B_n)\to 0$

— P.Windridge
source

Merci P.Windridge, mais je ne suis pas sûr de comprendre. 1 Si nous incluons ou , la conjecture est (trivialement?) Vraie? 2 Est-ce ce que vous essayez de prouver dans Edit 2? Si oui, votre égal à mon ? J'ai édité OP pour sténographie

P (B_{n}) = 0

$P(B_n)=0$

1

$1$

G

$\mathcal G$

τ_{A_{n}}

$\tau_{A_n}$

— BCLC

J'ai lu l'exercice. ?

H = τ_{B_{n}}

$\mathcal H = \tau_{B_n}$

— BCLC

Salut BCLC, (1) Je dis que si nous incluons

P (B_{n}) = 0

$P(B_n)=0$ alors la conjecture est vraie pour tous les choix des événements

A_{1}, A_{2}, \dots

$A_1,A_2,\ldots$ qui ont une "belle" queue

σ

$\sigma$ -algèbre (où "agréable" signifie ici généré numériquement). (2) Oui

G = τ_{(A_{n})}

$\mathcal{G}=\tau_{(A_n)}$ et

H

$\mathcal{H}$ est ton

τ_{(B_{n})}

$\tau_{(B_n)}$ . NB l'exercice lié utilise "

A_{n}

$A_n$ "pour ce que devrait être votre

B_{n}

$B_n$ , et "

B_{n}

$B_n$ "dénote une séquence candidate de génération d'événements (utilisée pour obtenir une contradiction.

— P.Windridge

Je ne suis pas sûr de suivre. Juste à partir des hypothèses, le

A_{i}

$A_i$ SONT indépendants?

— BCLC

Dans l'exercice 1.1.18 de math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , le

A_{i}

$A_i$ sont des événements indépendants, que vous devriez considérer comme

B_{i}

$B_i$ est dans votre conjecture. C'est bien ce que vous demandiez?

— P.Windridge