Coefficient de corrélation pour une distribution uniforme sur une ellipse

Je lis actuellement un article qui prétend que le coefficient de corrélation pour une distribution uniforme à l' intérieur d'une ellipse

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} constant & if (x, y) inside the ellipse \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y} (x,y) = \begin{cases}\text{constant} & \text{if} \ (x,y) \ \text{inside the ellipse} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

est donné par

ρ = \sqrt{1 - {(\frac{h}{H})}^{2}}

$\rho = \sqrt{1- \left(\frac{h}{H}\right)^2 }$

où et sont les hauteurs verticales au centre et aux extrémités respectivement. $h$ $H$

L'auteur ne révèle pas comment il y parvient et dit simplement que nous devons changer d'échelle, faire pivoter, traduire et bien sûr intégrer. J'aimerais beaucoup revenir sur ses pas mais je suis un peu perdu avec tout ça. Je serais donc reconnaissant pour quelques indices.

Merci d'avance.

Oh, et pour le compte rendu

Châtillon, Guy. "Le ballon règle pour une estimation approximative du coefficient de corrélation." The American Statistician 38.1 (1984): 58-60

C'est assez amusant.

— JohnK
source

Pourriez-vous écrire une expression pour l'ellipse? La "hauteur à l'extrême" n'a pas de sens pour une ellipse standard: car elle a la hauteur à les extrêmes. En effet, si est uniformément réparti à l'intérieur de l'ellipse standard, alors .

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

0

$0$

(X, Y)

$(X,Y)$

ρ = 0

$\rho = 0$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Oui, j'ai essayé le cas standard et calculé , aucun problème là-bas. Qu'en est-il des autres cas, où vous devez évoluer, faire pivoter, etc.?

ρ = 0

$\rho = 0$

— JohnK

L'ensemble de l'opération semble fondamentalement erroné. La partie "changement d'échelle" détruit l'uniformité. Une distribution vraiment uniforme est obtenue en tant que distribution limite dans des tampons étroits (euclidiens) de la courbe ou est uniforme par la longueur d'arc. Dans les deux cas, la constante de normalisation est une fonction elliptique complète et ne simplifiera probablement pas l'expression donnée ici. Je ne sais pas ce que et signifient, mais - à titre d'exemple - le coefficient de corrélation pour une ellipse avec un axe majeur deux fois le petit axe, incliné à un angle de , sera de .

h

$h$

H

$H$

π / 6

$\pi/6$

0.78004

$0.78004$

— whuber

@whuber J'ai inclus une figure du papier qui explique ce que et représentent, j'espère que cela le rendra plus clair.

h

$h$

H

$H$

— JohnK

Si vous souhaitez une réponse complète et complète, vous la trouverez dans mon article à l' adresse stats.stackexchange.com/a/71303/919 . Après tout, lorsque l'ellipse est un cercle, l'uniforme est (évidemment) circulaire symétrique, donc à peu près tout dans cette réponse s'applique directement. En particulier, en considérant l'ellipse non pas comme une rotation d'une ellipse horizontale, mais comme une transformation asymétrique, la formule de devient évidente, car (en utilisant la notation dans la section «Comment créer des ellipses»).

ρ

$\rho$

\sqrt{1 - ρ^{2}} = λ = h / H

$\sqrt{1-\rho^2}=\lambda = h/H$

— whuber

Soit uniformément distribué à l'intérieur de l'ellipse où et sont les demi- axes de l'ellipse. Ensuite, et ont des densités marginales et il est facile de voir que . Aussi, $(X,Y)$

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

Y

$Y$

\begin{aligned} f_{X} (x) & = \frac{2}{π a^{2}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} 1_{- a, a} (x), \\ f_{X} (x) & = \frac{2}{π b^{2}} \sqrt{b^{2} - y^{2}} 1_{- b, b} (y), \end{aligned}

$\begin{align} f_X(x) &= \frac{2}{\pi a^2}\sqrt{a^2-x^2}\,\,\mathbf 1_{-a,a}(x),\\ f_X(x) &= \frac{2}{\pi b^2}\sqrt{b^2-y^2}\,\,\mathbf 1_{-b,b}(y), \end{align}$

E [X] = E [Y] = 0

$E[X] = E[Y] = 0$

\begin{aligned} σ_{X}^{2} = E [X^{2}] & = \frac{2}{π a^{2}} \int_{a}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π a^{2}} \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π a^{2}} \times a^{4} \frac{1}{2} \frac{Γ (3 / 2) Γ (3 / 2)}{Γ (3)} \\ = \frac{a^{2}}{4}, \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_X^2 = E[X^2] &= \frac{2}{\pi a^2}\int_a^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\int_0^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\times a^4 \frac 12\frac{\Gamma(3/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(3)}\\ &= \frac{a^2}{4}, \end{align}$ et de même, . Enfin, et sont des variables aléatoires non corrélées .

σ_{Y}^{2} = \frac{b^{2}}{4}

$\sigma_Y^2 = \frac{b^2}{4}$

X

$X$

Y

$Y$

Soit qui est une transformation de rotation appliquée à . Ensuite, sont uniformément répartis à l'intérieur d'une ellipse dont les axes ne coïncident pas avec les axes et . Mais, il est facile de vérifier que et sont des variables aléatoires à moyenne nulle et que leurs variances sont De plus,

\begin{aligned} U & = X \cos θ - Y \sin θ \\ V & = X \sin θ + Y \cos θ \end{aligned}

$\begin{align} U &= X\cos \theta - Y \sin \theta\\ V &= X\sin \theta + Y \cos \theta \end{align}$

(X, Y)

$(X,Y)$

(U, V)

$(U,V)$

u

$u$

v

$v$

U

$U$

V

$V$

\begin{aligned} σ_{U}^{2} & = \frac{a^{2} \cos^{2} θ + b^{2} \sin^{2} θ}{4} \\ σ_{V}^{2} & = \frac{a^{2} \sin^{2} θ + b^{2} \cos^{2} θ}{4} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_U^2 &= \frac{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta}{4}\\ \sigma_V^2 &= \frac{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta}{4} \end{align}$

cov (U, V) = (σ_{X}^{2} - σ_{Y}^{2}) \sin θ \cos θ = \frac{a^{2} - b^{2}}{8} \sin 2 θ

$\operatorname{cov}(U,V) = (\sigma_X^2-\sigma_Y^2)\sin\theta\cos\theta = \frac{a^2-b^2}{8}\sin 2\theta$ à partir de laquelle nous pouvons obtenir la valeur de .

ρ_{U, V}

$\rho_{U,V}$

Maintenant, l'ellipse sur laquelle l'intérieur est uniformément distribué a l'équation $(U,V)$

\frac{(u \cos θ + v \sin θ)^{2}}{a^{2}} + \frac{(- u \sin θ + v \cos θ)^{2}}{b^{2}} = 1,

$\frac{(u \cos\theta + v\sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-u \sin\theta + v\cos \theta)^2}{b^2} = 1,$ c'est-à-dire qui peut également être exprimé comme définition de dans donne . tandis que la différenciation implicite de par rapport à donne

(\frac{\cos^{2} θ}{{une}^{2}} + \frac{{péché}^{2} θ}{b^{2}}) u^{2} + (\frac{{péché}^{2} θ}{{une}^{2}} + \frac{\cos^{2} θ}{b^{2}}) v^{2} + ((\frac{1}{{une}^{2}} - \frac{1}{b^{2}}) péché 2 θ) u v = 1,

$\left(\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}\right) u^2 + \left(\frac{\sin^2\theta}{a^2} + \frac{\cos^2\theta}{b^2}\right) v^2 + \left(\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)\sin 2\theta \right)uv = 1,$

\begin{matrix} (1) & σ_{V}^{2} \cdot u^{2} + σ_{U}^{2} \cdot v^{2} - 2 ρ_{U, V} σ_{U} σ_{V} \cdot u v = \frac{{une}^{2} b^{2}}{4} \end{matrix}

$\sigma_V^2\cdot u^2 + \sigma_U^2\cdot v^2 -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot uv = \frac{a^2b^2}{4}\tag{1}$

u = 0

$u = 0$

(1)

$(1)$

h = \frac{a b}{σ_{U}}

$\displaystyle h = \frac{ab}{\sigma_U}$

(1)

$(1)$

u

$u$

σ_{V}^{2} \cdot 2 u + σ_{U}^{2} \cdot 2 v \frac{ré v}{ré u} - 2 ρ_{U, V} σ_{U} σ_{V} \cdot (v + u \frac{ré v}{ré u}) = 0,

$\sigma_V^2\cdot 2u + \sigma_U^2\cdot 2v\frac{\mathrm dv}{\mathrm du} -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot \left(v + u\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}\right) = 0,$ c'est-à-dire que la tangente à l'ellipse est horizontale aux deux points de l'ellipse pour lesquels La valeur de peut être déterminée à partir de cela, et conduira (dans le cas peu probable où je n'ai commis aucune erreur en effectuant les calculs ci-dessus) au résultat souhaité.

(1)

$(1)$

(u, v)

$(u,v)$

ρ_{U, V} σ_{U} \cdot v = σ_{v} \cdot u .

$\rho_{U,V}\sigma_U\cdot v = \sigma_v\cdot u.$

H

$H$

— Dilip Sarwate
source

C'est une matrice de rotation orthogonale appropriée, merci.

— JohnK