Quelle est la signification du super script 2 indice 2 dans le contexte des normes?

Je suis nouveau dans l'optimisation. Je continue de voir des équations qui ont un exposant 2 et un indice 2 sur le côté droit d'une norme. Par exemple, voici l'équation des moindres carrés

min $||Ax-b||^2_2$

Je pense que je comprends l'exposant 2: cela signifie mettre au carré la valeur de la norme. Mais quel est l'indice 2? Comment lire ces équations?

regression optimization notation

— bernie2436
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| | θ | |_{p}

$||\theta||_p$ est la -norm de . Disons que est -dimensionnel, alors .

ℓ_{p}

$\ell_p$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

d

$d$

| | θ | |_{p} = {(\sum_{i = 1}^{d} | θ_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}}

$||\theta||_p = \left(\sum_{i=1}^d |\theta_i|^p\right)^\frac{1}{p}$

— Sobi

Des barres verticales simples sont utilisées pour la valeur absolue (magnitude):

| θ |

$|\theta|$

— Scortchi - Réintégrer Monica

Merci! ... mais à quoi sert l'index 2? ... l'index est pour la norme pth .... l'index est pour?

— mathopt

@ user1467929: Squaring - si c'est autre chose, ils l'auraient sûrement dit.

— Scortchi - Réintégrer Monica

Réponses:

Vous avez raison sur l'exposant. L'indice spécifie la -norm. $||.||_p$ $p$

Donc:

| | X_{je} | |_{p} = (\sum_{je} | X_{je} |^{p})^{1 / p}

$||x_i||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{1/p}$

Et:

| | X_{je} | |_{p}^{p} = \sum_{je} | X_{je} |^{p}

$||x_i||_p^p=\sum_i|x_i|^p$

— RUser4512
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ah. Et il y a des conventions pour les significations des indices que je vois. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#p-norm . Donc, comme 1 = norme taxicab, 2 = norme euclide, etc.

— bernie2436

@ bernie2436: Ce sont des cas particuliers de la définition générale donnée dans la réponse ci-dessus (sauf peut-être la sup-norme avec

)

p = \infty

$p = \infty$

— Michael M

est la norme euclidienne du vecteur ; est la norme euclidienne au carré de . Notez que comme la norme euclidienne est probablement la norme la plus couramment utilisée, les personnes sont couramment abrégées par . Par définition en supposant un espace vectoriel euclidien: $\|x\|_2$ $x$ $\|x\|_2^2$ $x$ $\|x\|$ . $\|x\|_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

$p$ $p = 0$ $p = 1$ $p = \infty$ $p=0$ $x$ $p=1$ $\|x\|_1$ $p = \infty$ $x$ $p = 0$ $p = 1$

— usεr11852 dit Reinstate Monic
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