Dérivée d'un processus gaussien

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Je crois que la dérivée d'un processus gaussien (GP) est un autre GP, et je voudrais donc savoir s'il existe des équations de forme fermée pour les équations de prédiction de la dérivée d'un GP? En particulier, j'utilise le noyau de covariance exponentielle au carré (également appelé gaussien) et je veux savoir comment faire des prédictions sur la dérivée du processus gaussien.

stochastic-processes  gaussian-process  derivative 
Qu'entendez-vous par la dérivée du GP? générez-vous au hasard une courbe à partir du BP, , puis prenez la dérivée? x(t)
— Placidia du
@Placidia, non, je veux dire le calcul de , qui je pense devrait être un autre processus gaussien∂x(t)∂t
Bonne question. Cependant, il me semble que le mouvement brownien est à la fois un GP et nulle part différentiable. Je ne suis donc pas sûr qu'il puisse y avoir une expression générique. Bien sûr, x (t) -x (th) devrait être un gaussien, donc il devrait être possible, étant donné la fonction de covariance, de penser aux probabilités à ce sujet pour un h donné.
— conjectures
@conjectures, c'est pourquoi j'ai spécifiquement dit que j'ai un GP où la fonction du noyau est l'exponentielle au carré (car je sais que celle-ci est infiniment différentiable) et que je ne cherchais vraiment que le cas dérivé dans mon exemple. Mais bon point quand même!

Réponses:

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La réponse courte: oui, si votre processus gaussien (GP) est différenciable, sa dérivée est à nouveau un GP. Il peut être géré comme n'importe quel autre GP et vous pouvez calculer des distributions prédictives.

Mais comme un GP et sa dérivée sont étroitement liés, vous pouvez déduire les propriétés de l'un ou de l'autre.G ′GG′

  1. Existence deG′

Un GP de moyenne nulle avec fonction de covariance est différentiable (en carré moyen) si existe. Dans ce cas, la fonction de covariance de est égale à . Si le processus n'est pas à moyenne nulle, la fonction moyenne doit également être différenciable. Dans ce cas , la fonction moyenne de est la dérivée de la fonction de moyenne .K ′ ( x 1 , x 2 ) = ∂ 2 KKG′K′G′GK′(x1,x2)=∂2K∂x1∂x2(x1,x2)G′K′G′G

(Pour plus de détails, consultez par exemple l'annexe 10A de A. Papoulis "Probabilité, variables aléatoires et processus stochastiques")

Puisque le noyau exponentiel gaussien est différentiable de n'importe quel ordre, ce n'est pas un problème pour vous.

  1. Distribution prédictive pourG′

Ceci est simple si vous voulez simplement conditionner les observations de : si vous pouvez calculer les dérivées respectives que vous connaissez la fonction moyenne et de covariance afin que vous puissiez en faire l'inférence de la même manière que vous le feriez avec n'importe quel autre GP. G′

Mais vous pouvez aussi déduire une distribution prédictive pour sur la base des observations de . Pour ce faire, calculez le postérieur de compte tenu de vos observations de manière standard, puis appliquez 1. à la covariance et à la fonction moyenne du processus postérieur. G GG′GG

Cela fonctionne de la même manière l'inverse, vous -à- dire l' état des observations de en déduire un postérieur de . Dans ce cas, la fonction de covariance de est donnée par des intégrales de et peut être difficile à calculer, mais la logique est vraiment la même. G G K ′G′GGK′

— gg
source
Je ne comprends pas votre question. Il existe une formule explicite pour la fonction de covariance et la fonction moyenne données ci-dessus (et dans 9.4 de Rasmussen / Williams). Comme c'est tout ce qu'il y a à savoir et à utiliser un médecin généraliste, que pourriez-vous demander d'autre?
— gg
Un processus avec cette covariance n'est pas différenciable. Comme indiqué dans la section 1. de la réponse, la fonction du noyau doit être différenciable par rapport aux deux entrées. La fonction delta n'est ni différenciable ni continue. Donc n'existe même pas. G′
— gg
Est-il possible que vous confondiez la fonction moyenne et les chemins du processus? Notez que la fonction moyenne est plus fluide que les chemins et peut être différenciée même si le processus ne l'est pas. Mais la fonction moyenne est une fonction déterministe, pas un processus, il n'y a donc pas de variance qui puisse être calculée.
— gg
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