Comment calculer


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J'essaie de résoudre un problème pour ma thèse et je ne vois pas comment le faire. J'ai 4 observations tirées au hasard d'une distribution uniforme (0,1) . Je veux calculer la probabilité que 3X(1)X(2)+X(3) . X(i) est la statistique du ième ordre (je prends la statistique d'ordre afin que mes observations soient classées du plus petit au plus grand). Je l'ai résolu pour un cas plus simple mais ici, je suis perdu sur la façon de le faire.

Toute aide serait la bienvenue.

Réponses:


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(x1,x2,x3,x4)0x1x2x3x41x1x2

Pr[3x1x2+x3]=1Pr[3x1<x2+x3]=1Pr[x1min(x2,x2+x33)].

Ce dernier événement se divise en deux événements disjoints selon lequel de et est le plus grand:x2(x2+x3)/2

Pr[x1min(x2,x2+x33)]=Pr[x2x32,x1x2]+Pr[x32x2x3,x1x2+x33].

Parce que la distribution conjointe est uniforme sur l'ensemble , avec la densité ,0x1x2x3x414!dx4dx3dx2dx1

Pr[x2x32,x1x2]=4!01dx40x4dx30x3/2dx20x2dx1=14

et

Pr[x32x2x3,x1x2+x33]=4!01dx40x4dx3x3/2x3dx20(x2+x3)/2dx1=712.

(Chaque intégrale est simple à utiliser comme intégrale itérée; seules les intégrations polynomiales sont impliquées.)

La probabilité souhaitée est donc égale à = .1(1/4+7/12)1/6

Éditer

Une solution plus intelligente (qui simplifie le travail) dérive de la reconnaissance que lorsque a des distributions exponentielles iid, , puis (en écrivant ) , les sommes partielles échelonnéesyj1jn+1y1+y2++yn+1=Y 

xi=j=1iyj/Y,

1in , sont distribués comme les statistiques d'ordre uniforme. Parce que est presque sûrement positif, il s'ensuit facilement que pour tout ,Y n3

Pr[3x1x2+x3]=Pr[3y1Yy1+y2Y+y1+y2+y3Y]=Pr[3y1(y1+y2)+(y1+y2+y3)]=Pr[y12y2+y3]=0exp(y3)0exp(y2)2y2+y3exp(y1)dy1dy2dy3=0exp(y3)0exp(y2)[exp(2y2y3)]dy2dy3=0exp(2y3)dy30exp(3y2)dy2=1213=16.

Merci beaucoup pour votre aide! J'ai été bloqué dans mes recherches à cause de ce problème, donc encore merci!
SEV

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+1 Le point de vue ajouté dans le récent montage est particulièrement apprécié
Dilip Sarwate
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