Comment montrer qu'un estimateur est cohérent?

Suffit-il de montrer que MSE = 0 comme $n\rightarrow\infty$ ? J'ai également lu dans mes notes quelque chose sur le plim. Comment puis-je trouver le plim et l'utiliser pour montrer que l'estimateur est cohérent?

estimation convergence consistency

— La patience
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EDIT: Correction d'erreurs mineures.

Voici une façon de procéder:

Un estimateur de $\theta$ (appelons-le $T_n$ ) est cohérent s'il converge en probabilité vers $\theta$ . Utiliser votre notation

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ .

La convergence des probabilités, mathématiquement, signifie

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ pour tout $\epsilon>0$ .

La façon la plus simple de montrer la convergence en probabilité / cohérence est d'invoquer l'inégalité de Chebyshev, qui dit:

. $P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

Donc,

. $P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

Et donc vous devez montrer que va à 0 comme . $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : Ce qui précède nécessite que l'estimateur soit au moins asymptotiquement sans biais. Comme le souligne G. Jay Kerns, considérons l'estimateur (pour estimer la moyenne ). est biaisé à la fois pour fini et asymptotiquement, et comme . Cependant, $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ n'est pas un estimateur cohérent de . $\mu$

EDIT 3 : Voir les points du cardinal dans les commentaires ci-dessous.

@ G.JayKerns L'impartialité n'est pas nécessaire pour cela. Soit

est un estimateur biaisé de l'écart-type, mais vous pouvez utiliser l'argument ci-dessus pour montrer qu'il est cohérent.

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

A l'air bien (+1); et je vais supprimer mes commentaires précédents.

@ G.JayKerns Vos commentaires étaient un ajout nécessaire. Nous devons toujours nous assurer que nous sommes conscients des hypothèses sur lesquelles nous travaillons.

@MikeWierzbicki: Je pense que nous devons être très prudents, en particulier avec ce que nous entendons par asymptotiquement impartial . Il existe au moins deux concepts différents qui reçoivent souvent ce nom et il est important de les distinguer. Il est à noter qu'il n'est pas vrai en général qu'un estimateur cohérent est asymptotiquement sans biais dans le sens où

même lorsque la moyenne

existe pour tout

. Beaucoup de gens appellent la convergence

sans biais dans la limite ou sans biais approximatif

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$ ... (suite)

— cardinal

Évidemment, pour qu'un estimateur cohérent soit biaisé dans la limite, la convergence dans

doit échouer puisque

où

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

— cardinal