Quel est le "moment" des "moments" d'une distribution de probabilité?

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Je sais ce que sont les moments, comment les calculer et comment utiliser la fonction de génération de moments pour obtenir des moments d'ordre supérieur. Oui, je connais les maths.

Maintenant que j'ai besoin de connaître mes statistiques pour pouvoir travailler, je me suis dit que je pourrais aussi bien poser cette question. Cela me harcèle depuis quelques années et à la rentrée, aucun professeur ne connaissait la réponse ou ne ferait que rejeter la question (honnêtement). .

Alors, que signifie le mot "moment" dans ce cas? Pourquoi ce choix de mot? Cela ne semble pas intuitif pour moi (ou je ne l'ai jamais entendu à ce moment-là au collège :). En y réfléchissant, je suis tout aussi curieux de connaître son utilisation dans "moment d'inertie";) mais ne nous concentrons pas là-dessus pour le moment.

Alors qu'est-ce qu'un "moment" d'une distribution signifie et que cherche-t-il à faire et pourquoi CE mot! :) Pourquoi se soucie-t-on des moments? En ce moment, je me sens autrement à ce moment-là;)

PS: Oui, j’ai probablement posé une question similaire sur la variance, mais j’apprécie la compréhension intuitive par rapport à la recherche dans le livre pour le découvrir :)

— Doctorat
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Pour le choix du mot, commencez par son étymologie .

— whuber

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@ Whuber: oui! J'ai jeté un coup d'œil avant de poser cette question - il y a de nombreuses années également;)

— PhD

Je combinerais l'étymologie fournie par @whuber avec ceci ( thefreedictionary.com/moment ) à la définition de Math / Stat citée dans le dictionnaire anglais Collins. Combiné à des définitions d’utilisation courante telles que "courte période" ou "instance spécifique". Je suis à peu près certain que ce sens mathématique / statistique est interchangeable avec les points. Juste ces points ont une signification particulière dans certaines applications (MGF ou MOI) avant que la géométrie et l'algèbre de Descartes n'aient pas de lien systématique, de sorte qu'ils avaient probablement une variété de termes différents pour désigner ce qui est en réalité la même chose.

— Chris Simokat

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Il vient de Macbeth: " Qui peut être sage, stupéfait, tempéré et furieux, loyal et neutre en un instant? " Macbeth: Act ii. Caroline du Sud. 3

— loups

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Selon le document "Première apparition (?) De termes communs dans les statistiques mathématiques" de HA David, le mot "moment" a été utilisé pour la première fois dans une lettre de 1893 à Nature de Karl Pearson intitulée "Courbes de fréquence asymétriques" .

1938 de Neyman Biometrika papier « Une Note historique sur la déduction de Karl Pearson des moments de la binomiale » donne un bon résumé de la lettre et les travaux ultérieurs de Pearson sur les moments de la distribution binomiale et la méthode des moments. C'est une très bonne lecture. J'espère que vous avez accès à JSTOR car je n'ai pas le temps de donner un bon résumé du document (bien que je le fasse ce week-end). Cependant, je mentionnerai un élément qui pourrait expliquer pourquoi le terme "moment" a été utilisé. Du papier de Neyman:

Il [Mémoire de Pearson] traite principalement des méthodes d'approximation des courbes de fréquence continue au moyen de certains processus impliquant le calcul de formules simples. L'une des formules considérées était le "binôme ponctuel" ou le "binôme à ordonnées chargées". La formule
diffère de ce que nous appelons aujourd'hui un binôme, à savoir. (4), uniquement par un facteur , représentant l'aire sous la courbe continue que l'on souhaite ajuster. $\alpha$

C'est ce qui a finalement conduit à la «méthode des moments». Neyman passe en revue la dérivation de Pearson des moments binomiaux dans le document ci-dessus.

Et de la lettre de Pearson:

Nous allons maintenant procéder à la recherche des quatre premiers moments du système de rectangles autour de GN. Si l'inertie de chaque rectangle pouvait être considérée comme concentrée le long de sa verticale, nous devrions avoir pour l' instant autour de NG, en écrivant . $s^{\text{th}}$ $d = c(1 + nq)$

Cela suggère que Pearson a utilisé le terme «moment» pour faire allusion au «moment d'inertie», terme commun à la physique.

Voici un aperçu de la plupart des lettres Nature de Pearson :

entrez la description de l'image ici

Vous pouvez voir l'article complet à la page 615 ici .

— Nick Cox
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Puis-je donner un +100 à cette réponse? ;)

— PhD

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@Nupul, vous pouvez donner +100 à titre de prime. Les primes peuvent être attribuées lorsque la question a deux jours.

— Mpiktas

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@Nupul Observez les multiples références de Pearson à "la gravité". Clairement, il raisonne avec une analogie physique. Cela nous ramène à la question de savoir pourquoi la physique utilise le terme "moment" pour désigner de telles choses. Je crois que c'est simplement une généralisation naturelle de l'idée de moment d'inertie (un second moment), que vous trouverez référencée dans les liens d'étymologie pour "moment". C'est pourquoi l'étymologie est pertinente.

— whuber

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La physique reconnaît des moments plus élevés que le second, Nupul, et les formules sont identiques à celles de la statistique. On traduit simplement la "densité" d'un objet en "densité de probabilité". En fait, la physique a généralisé l'idée d'un moment comme étant le coefficient d'expansion d'une série de puissances dans un système de coordonnées approprié.

— whuber

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@ Nupul, je ne sais pas si je peux ajouter quelque chose de plus que ce que whuber a déclaré. Je pense que tout ce qui va au-delà de ce que j'ai lié dans ma réponse et les commentaires de Whuber peut probablement être traité plus en profondeur dans Physics SE . Et si ce n'est pas encore assez «profond», il y a toujours le SE anglais dont le cinquième tag le plus utilisé est «étymologie». Mais bonne question! J'ai bien aimé les recherches et trouvé 3 excellents papiers dont je n'avais jamais entendu parler.

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Tout le monde a son moment sur les moments. J'avais le mien dans Cumulant et des noms de moments qui allaient au-delà de la variance, de l'asymétrie et du kurtosis , et passais quelque temps à lire ce fil magnifique.

Bizarrement, je n’ai pas trouvé la mention "moment" dans "le journal de HA David. Je suis donc allé à Karl Pearson: La vie scientifique à l’ère de la statistique , un livre de TM Porter. Et Karl Pearson et les origines de la statistique moderne: un élasticien devient statisticien.Il a par exemple publié une histoire de la théorie de l’élasticité et de la résistance des matériaux de Galilée à l’époque actuelle .

Ses antécédents étaient très variés et il était notamment professeur d'ingénierie et d'élastique, qui avait participé à la détermination des moments de flexion d'un pont et au calcul des contraintes sur les barrages en maçonnerie. En élasticité, on n'observe que ce qui se passe (rupture) de manière limitée. Il était apparemment intéressé (d'après le livre de Porter):

calcul graphique ou, dans sa forme la plus digne et la plus mathématique, la statique graphique.

Plus tard :

Dès le début de sa carrière statistique, et même avant cela, il a ajusté les courbes en utilisant la "méthode des moments". En mécanique, cela signifiait associer un corps compliqué à un corps simple ou abstrait ayant le même centre de masse et le même "rayon de rotation", respectivement les premier et deuxième moments. Ces quantités correspondaient en statistique à la moyenne et à la dispersion ou à la dispersion des mesures autour de la moyenne.

Et depuis:

Pearson a traité dans des intervalles de mesure discrets, il s'agissait d'une somme plutôt que d'une intégrale

Les moments d'inertie peuvent constituer le résumé d'un corps en mouvement: les calculs peuvent être effectués comme si le corps était réduit à un seul point.

Pearson a mis en place ces cinq égalités sous la forme d'un système d'équations combinées pour former l'une des valeurs du neuvième degré. Une solution numérique n'était possible que par approximations successives. Il aurait pu y avoir jusqu'à neuf solutions réelles, bien qu'il n'y en ait eu que deux dans le cas présent. Il a tracé les deux résultats à côté de l'original et était généralement satisfait de son apparence. Cependant, il ne s'est pas basé sur l'inspection visuelle pour décider entre eux, mais a calculé le sixième moment pour décider du meilleur match

Revenons à la physique. Un moment est une quantité physique qui prend en compte l'agencement local d'une propriété physique, généralement par rapport à un certain point ou axe ordinal (classiquement dans l'espace ou dans le temps). Il résume les quantités physiques mesurées à une certaine distance d'une référence. Si la quantité n'est pas concentrée en un seul point, le moment est "moyenné" sur tout l'espace, au moyen d'intégrales ou de sommes.

Apparemment, la notion de moments peut être reliée à la découverte du principe de fonctionnement du levier "découvert" par Archimède. L'une des premières occurrences connues est le mot latin "momentorum" avec le sens actuellement accepté (moment sur un centre de rotation). En 1565, Federico Commandino traduisit l'œuvre de Archimède (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) en:

Le centre de gravité de chaque figure solide est ce point en son centre, autour duquel se tiennent des parties égales.

ou

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud intra positum, circa quod undes partes aequalium momentorum

Donc, apparemment, l'analogie avec la physique est assez forte: à partir d'une forme physique complexe et discrète, trouvez des quantités qui s'en approchent suffisamment, une forme de compression ou de parcimonie.

— Laurent Duval
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Trop simplistes, les moments statistiques sont des descripteurs supplémentaires d’une courbe / distribution. Nous connaissons les deux premiers moments et ceux-ci sont généralement utiles pour les distributions normales continues ou les courbes similaires. Cependant, ces deux premiers moments perdent leur valeur informative pour les autres distributions. Ainsi, d'autres moments fournissent des informations supplémentaires sur la forme / la forme de la distribution.

— Daniel I Shostak
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Je ne pense pas que la signification des deux premiers moments vienne de perdre pour toutes les distributions non normales. Par exemple, le temps de résidence moyen correspond généralement au premier moment ou à la moyenne intégrale des temps d'une série temporelle.

— Carl

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Question: Que veut dire le mot "moment" dans ce cas? Pourquoi ce choix de mot? Cela ne semble pas intuitif pour moi (ou je ne l'ai jamais entendu à ce moment-là au collège :). En y réfléchissant, je suis tout aussi curieux de connaître son utilisation dans "moment d'inertie";) mais ne nous attardons pas là-dessus pour le moment.

Réponse: En fait, dans un sens historique, le moment d'inertie est probablement à l'origine du sens du mot moments. En effet, on peut (comme ci-dessous) montrer comment le moment d'inertie est lié à la variance. Cela donne également une interprétation physique des moments les plus élevés.

En physique, un moment est une expression impliquant le produit d'une distance et d'une quantité physique. Il rend compte de la manière dont la quantité physique est localisée ou agencée. Les moments sont généralement définis par rapport à un point de référence fixe; ils traitent des quantités physiques mesurées à une certaine distance de ce point de référence. Par exemple, le moment de force agissant sur un objet, souvent appelé couple, est le produit de la force et de la distance par rapport à un point de référence, comme dans l'exemple ci-dessous.

Des moments de mouvement circulaire, par exemple des moments d’inertie pour mouvement circulaire , de corps rigides qui sont une simple conversion, sont moins déroutants que les noms habituellement donnés , par exemple hyperflatness, etc. pour des moments plus élevés . L'accélération angulaire est la dérivée de la vitesse angulaire, qui est la dérivée de l'angle par rapport au temps, c'est-à-dire, . Considérez que le second moment est analogue au couple appliqué à un mouvement circulaire ou si vous voulez une accélération / décélération (également dérivée seconde) de ce circulaire (ie angulaire, $\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$ $\theta$ ) mouvement. De même, le troisième moment serait un taux de changement de couple, et ainsi de suite, pour des moments encore plus élevés, afin de créer des taux de changement de taux de changement, c’est-à-dire des dérivées séquentielles du mouvement circulaire. C’est peut-être plus facile de visualiser cela avec des exemples concrets.

β (x; α, β) = \begin{array}{cc} { & \begin{array}{cc} \frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{B (α, β)} & 0 < x < 1 \\ 0 & True \end{array} \end{array},

$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (.)

$\Gamma(.)$

Γ (z) = \int_{0}^{\infty} x^{z - 1} e^{- x} d x

$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

$z$ $x$ $x,y$

μ = \int_{0}^{1} r β (r; α, β) d r = \frac{α}{α + β},

$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$

β (r; 2, 2)

$\beta(r;2,2)$

μ = \frac{1}{2}

$\mu=\dfrac{1}{2}$

$0\leq r\leq1$ $2\leq r\leq4$

$r$ $z$

σ^{2} = \int_{0}^{1} (r - μ)^{2} β (r; α, β) d r = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)},

$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$

β (r; 2, 2)

$\beta(r;2,2)$

I = σ^{2} = \frac{1}{20}

$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$

I

$I$

Maintenant, pour les moments dits «centraux» supérieurs, c'est-à-dire les moments concernant la moyenne, tels que l'asymétrie et le kurtosis, nous calculons le moment autour de la moyenne de Cela peut également être compris comme étant la dérivée du mouvement circulaire. $n^{\text{th}}$

\int_{0}^{1} (r - μ)^{n} β (r; α, β) d r .

$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$

n^{th}

$n^{\text{th}}$

Et si nous voulons calculer en arrière, c'est-à-dire prendre un objet solide 3D et le transformer en une fonction de probabilité? Les choses deviennent alors un peu plus compliquées. Par exemple, prenons un tore .

Nous prenons d’abord sa section transversale circulaire, puis nous la transformons en demi-ellipse pour indiquer la densité de toute pièce plate comme une tranche, puis nous convertissons la pièce en pièce de monnaie en forme de coin pour tenir compte de la densité croissante lorsque la distance augmente ( ) à partir de l' axe , et finalement nous normalisons pour que la zone fasse une fonction de densité. Ceci est décrit graphiquement ci-dessous avec les mathématiques laissées au lecteur. $r$ $z$

Enfin, nous demandons comment ces équivalences se rapportent au mouvement? Notez que, comme ci-dessus, le moment d'inertie, , peut être associé au second moment central, , AKA, la variance. Alors, , c'est-à-dire le rapport du couple, , et de l'accélération angulaire, . Nous ferions alors la différence pour obtenir des taux de changement d’ordre plus élevés dans le temps. $I$ $\sigma^2$ $I=\dfrac{\tau}{a}$ $\tau$ $a$

— Carl
source

Le lien entre les moments et les dérivés est obscur. (Cela existe vraiment, mais la relation est généralement révélée par la transformation de Fourier.) Pouvez-vous montrer explicitement comment et pourquoi les moments peuvent être interprétés comme des dérivées? Comment cela marche-t-il?

— whuber

@whuber Plus tard, en attendant, regardez le lien moments ci-dessus, il montre ||.

— Carl

Je vous remercie. Je vois cette page et j'aperçois de quoi vous parlez, mais le lien avec les moments d'une distribution n'est pas clair. Je suis intriguée et attend avec impatience que vous développiez cette idée.

— whuber

@whuber Vérifiez-le et voyez si vous êtes d'accord.

— Carl

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Oui, cela peut être fait. Lorsque l'argument de la série est écrit vous avez une série de Fourier. De plus, la connexion entre les moments et les dérivées est explicite dans la transformée de Fourier: l'opérateur de différenciation est transformé en multiplication par , montrant directement comment les moments sont connectés aux dérivées du même ordre.

x

$x$

x = e^{i q}

$x=e^{iq}$

q

$q$

— whuber