Le paradoxe des prisonniers

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On me fait un exercice et je n'arrive pas à le comprendre.

Le paradoxe des prisonniers
Trois détenus en isolement cellulaire, A, B et C, ont été condamnés à mort le même jour mais, en raison de la fête nationale, le gouverneur décide que l'un d'eux se verra accorder une grâce. Les prisonniers sont informés de cela mais ont dit qu'ils ne sauront lequel d'entre eux sera épargné jusqu'au jour prévu pour les exécutions.

Le prisonnier A dit au geôlier "Je sais déjà qu'au moins un des deux autres prisonniers sera exécuté, donc si vous me dites le nom d'un qui sera exécuté, vous ne m'avez pas donné d'informations sur ma propre exécution" .

Le geôlier accepte cela et lui dit que C va certainement mourir.

A alors des raisons «Avant de savoir que C devait être exécuté, j'avais une chance sur 3 de recevoir une réhabilitation. Maintenant, je sais que B ou moi-même seront pardonnés, les chances sont passées à 1 sur 2. ».

Mais le geôlier souligne "Vous auriez pu arriver à une conclusion similaire si j'avais dit que B mourrait et que je devais répondre à B ou à C, alors pourquoi avez-vous dû demander?".

Quelles sont les chances de A de recevoir une réhabilitation et pourquoi? Construisez une explication qui convaincra les autres que vous avez raison.

Vous pouvez résoudre ce problème par le théorème de Bayes, en traçant un réseau de croyances ou par le bon sens. Quelle que soit l'approche que vous choisissez, vous devez approfondir votre compréhension du concept trompeusement simple de probabilité conditionnelle.

Voici mon analyse:

Cela ressemble au problème de Monty Hall , mais pas tout à fait. Si A dit I change my place with Baprès qu'on lui a dit que C mourra, il a 2/3 chances d'être sauvé. S'il ne le fait pas, je dirais que ses chances sont de 1/3 de vivre, comme lorsque vous ne changez pas votre choix dans le problème de Monty Hall. Mais en même temps, il est dans un groupe de 2 mecs, et l'un devrait mourir, il est donc tentant de dire que ses chances sont de 1/2.

Donc, le paradoxe est toujours là, comment aborderiez-vous cela. De plus, je ne sais pas comment je pourrais créer un réseau de croyances à ce sujet, donc je suis intéressé de voir cela.

probability self-study

— Benjamin Crouzier
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"Il est dans un groupe de 2 mecs" n'implique pas "ses chances sont de 1/2"

— Henry

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Au départ, il existe trois possibilités à probabilités égales:

$1/3$
$1/3$
$1/3$

Avec la promesse du message, il y a quatre possibilités avec différentes probabilités:

$1/6$
$1/6$
$1/3$
$1/3$

Conditionnel à "A est informé que C sera exécuté" cela devient

$1/3$
$2/3$

$2/3$

— Henri
source

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A voudrait échanger avec B est la clé. Pour prendre l'une des explications courantes de Monty Hall: Imaginez qu'il y a 1000 prisonniers: A demande au geôlier qui lui donne 998 noms. De toute évidence, nous venons d'apprendre beaucoup de choses sur le gars qui n'est pas A et qui n'est pas nommé . Mais nous n'avons pas appris quoi que ce soit au sujet de A .

— Ben Jackson

Je pense que dans la position de A, c'est une très bonne stratégie pour lui de demander cela au garde. Plus tard, parlez à B et demandez-lui s'il veut changer. S'il est d'accord, vous pouvez demander aux bourreaux si, si l'un d'entre eux doit être libéré, libérez l'autre. Du point de vue de B, ses chances ne changent pas, il n'y a donc aucune raison pour lui de dire non (ou de dire oui, donc c'est une question de pression à ce moment-là)

— Cruncher

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Je pense que vous pensez trop au problème - c'est un problème de Monty Hall et la même logique s'applique.

— babelproofreader
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Pouvez-vous vous développer? Je suis intéressé par le raisonnement, pas la réponse

— Benjamin Crouzier

1

@pinouchon: Le geôlier est Monty Hall et le prisonnier A est le joueur. Mourir est analogue à avoir une chèvre; le pardon est analogue à l'obtention d'un prix. Maintenant, vous pouvez traduire directement toute explication du problème de Monty Hall que vous aimez: cela couvre beaucoup de raisonnement. +1 à babelproofreader pour l'avoir signalé.

— whuber

Comment voulez - vous argumenter contre cette déclaration: But at the same time, he is in a group of 2 guys, and one should die, so it is tempting to say that his chances are 1/2.. Et qu'en est-il du réseau des croyances?

— Benjamin Crouzier

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@Pinouchon Il serait constructif de modifier votre question pour se concentrer sur l'aspect du réseau de croyances. Le problème de Monty Hall lui-même a été discuté à mort dans de très nombreux endroits, donc je ne vois pas l'intérêt de ressasser ce document ici.

— whuber

Je suis d'accord que le problème de Monty Hall a été discuté à mort, mais malgré les affirmations de Babelproof et de Whuber, je ne vois pas où le prisonnier A peut changer de place. Si le geôlier avait trois enveloppes scellées, une contenant un pardon et deux contenant des condamnations à mort, A a choisi une enveloppe, et le geôlier en a ouvert une autre (exactement les mêmes règles que celles que j'ai données dans une réponse séparée) et a montré qu'elle contenait une condamnation à mort, et a ensuite demandé A "Voulez-vous conserver l'enveloppe que vous avez choisie ou préférez-vous changer?" Je peux voir l'analogie

— Dilip Sarwate

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$A$ $P(A) = \frac{1}{3}$ $B$

$P(B \mid A) = 1$ $P(B \mid A^c) = 0$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$P(B \mid A) = 0$ $P(B \mid A^c) = 1$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

$B$

$1$ $3$ indépendamment du fait que Monty ouvre une porte non choisie pour révéler une chèvre ou non, ou le geôlier dit à A que C va être exécuté, ou non, exactement comme Henry l'a calculé en détail.

— Dilip Sarwate
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Je pense que nous pouvons supposer que le geôlier possède cette information, sinon le problème ne vaut pas la peine d'être raisonné (si le geôlier a une probabilité inconnue de mentir, alors il pourrait tout aussi bien ne rien dire). Quant à votre premier point: bien sûr, le résultat est différent de celui du problème de Monty Hall car il n'y a pas d'option pour changer. Mais la logique est la même: en révélant une option qui n'est pas gagnante, des informations sont fournies sur une autre option que le geôlier / Monty aurait pu choisir.

— Ruben van Bergen

2

La réponse dépend de la façon dont le geôlier choisit le prisonnier à nommer quand il sait que A doit être gracié. Considérez deux règles:

1) Le geôlier choisit parmi B et C au hasard, et vient juste de dire C dans ce cas. Les chances de pardon pour A sont alors de 1/3.

2) Le geôlier dit toujours C. Alors la chance de A d'être gracié est de 1/2.

Tout ce qu'on nous dit, c'est que le geôlier a dit C, donc nous ne savons pas laquelle de ces règles il a suivies. En fait, il pourrait y avoir d'autres règles - peut-être que le geôlier lance un dé et ne dit C que s'il lance un 6.

— Ringold
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Comme l'ont souligné d'autres, le problème des trois prisonniers est une reformulation de Monty Hall. Pour plus d'informations, consultez la section 1.7 de ce document http://faculty.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Problem.pdf

— Zen
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Imaginez que le geôlier dit à A que C mourra définitivement. Et puis il dit à B que C mourra définitivement. Il est clair dans ce cas que A et B ont chacun 50% à pardonner. Mais quelle est la différence entre les deux versions?

— gach
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0

$1/2$ $2/3$

$A$ $B$ $C$ $J$ $J^c$

$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

$P(J|A) = \frac{1}{2}$

P (A | J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

$P(A|J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

$P(J|A) = 1$ $P(J|C) = 1$ $P(J|B) = 0$

P (J) = P (J | B) P (B) + P (J | B^{c}) P (B^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

$P(J) = P(J|B)P(B) + P(J|B^c)P(B^c) = 0\times\frac{1}{3} + 1\times\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

P (A | J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

$P(A|J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

— Mikhail Volkhov
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Est-ce que "toujours nommer Carl quand c'est possible" ne serait pas aussi plausible que "toujours nommer Bob quand c'est possible"?

— Juho Kokkala

Oui, la stratégie S '= "toujours nommer Carl si possible" doit être complètement équivalente si nous redéfinissons J en conséquence. Si nous laissons J tel quel et forçons le geôlier à suivre S ', tout sera prédéterminé: chaque fois que J (le geôlier dit Bob), nous savons qu'il n'était pas possible de dire "Carl", donc Carl a été gracié .

— Mikhail Volkhov

-1

Après avoir reçu l'information, que le prisonnier C mourra, ses chances changent à 1/2, mais seulement, parce que les chances qu'il obtienne cette information sont déjà 2/3 (la possibilité 1/3 du prisonnier C d'obtenir le pardon est éliminée )

Et 2/3 * 1/2 est la probabilité d'origine de se libérer.

L'approche oppositionnelle est plus convaincante:

Supposons qu'on lui dise que le prisonnier C obtiendra la grâce.
Quelles sont ses chances de ne pas être tué?
Tout le monde reconnaîtra que ses chances sont nulles, en supposant que le geôlier ne ment pas et qu'il n'y a qu'un seul pardon.

Cette fois, il a une chance de 1/1, car la chance pour cette information était déjà de 1/3.

— Sunzi
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Ce n'est pas correct; voir le calcul dans la réponse d'Henry qui montre qu'après avoir entendu les informations du geôlier, le prisonnier A a 2/3 chances de mourir (et non 1/2). C'est la même probabilité qu'il avait avant, donc le geôlier a raison: ce qu'il a dit à A n'a rien changé pour les chances de vie de A. Si B écoutait, il savait maintenant que ses chances de mourir étaient réduites à 1/3.

— Ruben van Bergen