Le problème de Monty Hall - où notre intuition nous manque-t-elle?

De Wikipedia:

Supposons que vous soyez dans un jeu télévisé et que vous ayez le choix entre trois portes: derrière une porte se trouve une voiture; derrière les autres, des chèvres. Vous choisissez une porte, dites n ° 1, et l'hôte, qui sait ce qu'il y a derrière les portes, ouvre une autre porte, dites n ° 3, qui a une chèvre. Il vous dit ensuite: "Voulez-vous choisir la porte n ° 2?" Est-ce à votre avantage de changer de choix?

La réponse est, bien sûr, oui - mais c'est incroyablement non-intuitif. Quel malentendu la plupart des gens ont-ils au sujet de la probabilité que cela nous amène à nous gratter la tête - ou mieux; Quelle règle générale pouvons-nous retirer de ce puzzle pour mieux former notre intuition à l'avenir?

Considérons deux variantes simples du problème:

1. Aucune porte n'est ouverte pour le candidat. L'hôte n'offre aucune aide pour choisir une porte. Dans ce cas, il est évident que les chances de choisir la bonne porte sont de 1/3.
2. Avant de demander au candidat de deviner, l'hôte ouvre une porte et révèle une chèvre. Après que l'hôte révèle une chèvre, le concurrent doit choisir la voiture des deux portes restantes. Dans ce cas, il est évident que la probabilité de choisir la bonne porte est de 1/2.

Pour qu'un concurrent connaisse la probabilité que son choix de porte soit correct, il doit savoir combien de résultats positifs lui sont disponibles et diviser ce nombre par le nombre de résultats possibles. En raison des deux cas simples décrits ci-dessus, il est très naturel de penser à tous les résultats possibles disponibles en tant que nombre de portes à choisir et nombre de résultats positifs en tant que nombre de portes dissimulant une voiture. Compte tenu de cette hypothèse intuitive, même si l'hôte ouvre une porte pour révéler une chèvre après que le concurrent a deviné, la probabilité qu'une des portes contienne une voiture reste égale à 1/2.

En réalité, la probabilité reconnaît un ensemble de résultats possibles plus grands que les trois portes et un ensemble de résultats positifs plus grands que la seule porte de la voiture. Dans l'analyse correcte du problème, l'hôte fournit au candidat de nouvelles informations, ce qui pose une nouvelle question: quelle est la probabilité que ma supposition initiale soit telle que les nouvelles informations fournies par l'hôte sont suffisantes pour me renseigner sur le correct? porte? En répondant à cette question, l'ensemble des résultats positifs et les résultats possibles ne sont pas des portes et des voitures tangibles, mais plutôt des agencements abstraits de chèvres et de voitures. Les trois résultats possibles sont les trois arrangements possibles de deux chèvres et une voiture derrière trois portes. Les deux résultats positifs sont les deux arrangements possibles pour lesquels la première estimation du candidat est fausse. Dans chacune de ces deux dispositions, les informations fournies par l'hôte (une des deux portes restantes est vide) suffisent pour permettre au candidat de déterminer la porte qui cache la voiture.

En résumé:

Nous avons tendance à rechercher une simple correspondance entre les manifestations physiques de nos choix (les portes et les voitures) et le nombre de résultats possibles et de résultats souhaités dans une question de probabilité. Cela fonctionne bien dans les cas où aucune nouvelle information n'est fournie au candidat. Cependant, si le concurrent reçoit plus d'informations (c'est-à-dire une des portes que vous n'avez pas choisies n'est certainement pas une voiture), cette cartographie échoue et la bonne question à poser se révèle plus abstraite.

Je trouve que les gens trouvent la solution plus intuitive si vous la changez en 100 portes, fermez en premier, puis 98 portes. De même pour 50 portes, etc.

Pour répondre à la question initiale : notre intuition échoue à cause du récit. En racontant l'histoire dans le même ordre que le scénario télévisé, nous sommes confus. Cela devient beaucoup plus facile si nous réfléchissons à ce qui va se passer à l’avance. Le quiz-maître révélera une chèvre; notre meilleure chance est donc de choisir une porte avec une chèvre puis de passer à une autre personne. Le scénario met beaucoup d’accent sur la perte causée par notre action sur une chance sur trois que nous choisissions la voiture.

La réponse originale:

Notre objectif est d'éliminer les deux chèvres. Nous faisons cela en marquant une chèvre nous-mêmes. Le quizmaster est alors obligé de choisir entre révéler la voiture ou l'autre chèvre. Révéler la voiture est hors de question, le responsable du quiz révélera et éliminera la seule chèvre dont nous n'avions pas connaissance. Nous passons ensuite à la porte restante, éliminant ainsi la chèvre que nous avons marquée de notre premier choix, et récupérons la voiture.

Cette stratégie n'échoue que si nous ne marquons pas une chèvre mais la voiture. Mais c'est peu probable: il y a deux chèvres et une seule voiture.

Nous avons donc une chance de 2 sur 3 de gagner la voiture.

La réponse n'est pas "bien sûr OUI!" La réponse correcte est: "Je ne sais pas, pouvez-vous être plus précis?"

La seule raison pour laquelle vous pensez que c'est correct, c'est parce que Marliyn vos Savant l'a dit. Sa réponse initiale à la question (bien que la question fût largement connue avant elle) a été publiée dans le magazine Parade le 9 septembre 1990 . elle a écrit que la réponse "correcte" à cette question consistait à changer de porte, car le fait de changer de porte augmentait les chances de gagner la voiture (2/3 au lieu de 1/3). Elle a reçu de nombreuses réponses de docteurs en mathématiques et d'autres personnes intelligentes affirmant qu'elle se trompait (même si nombre d'entre elles étaient également incorrectes).

Supposons que vous soyez dans un jeu télévisé et que vous ayez le choix entre trois portes. Derrière une porte se trouve une voiture, derrière les autres, des chèvres. Vous choisissez une porte, dites n ° 1, et l'hôte, qui sait ce qu'il y a derrière les portes, ouvre une autre porte, dites n ° 3 , qui a une chèvre. Il vous dit: "Voulez-vous choisir la porte n ° 2?" Est-il avantageux de changer de porte? - Craig F. Whitaker Columbia, Maryland

J'ai audacieux la partie importante de cette question de logique. Ce qui est ambigu dans cette déclaration est:

Est-ce que Monty Hall ouvre toujours une porte? (Quel serait l'avantage de changer de porte s'il n'ouvrait une porte perdante que lorsque vous avez choisi une porte gagnante? Réponse : Non)

Monty Hall ouvre- t-il toujours une porte perdante ? (Les Précise question qu'il sait où la voiture est, et ce en particulier le temps il a montré une chèvre derrière un. Quelles seraient vos chances être s'il a ouvert au hasard une porte? -À- dire la question de l' automne Monty ou si parfois il choisit de montrer gagner portes .)

Monty Hall ouvre- t-il toujours une porte que vous n'avez pas choisie?

Les bases de ce casse-tête logique ont été répétées plus d'une fois et souvent, elles ne sont pas assez bien spécifiées pour donner la réponse "correcte" de 2/3.

Une commerçante dit qu'elle a deux nouveaux bébés Beagles à vous montrer, mais elle ne sait pas s'il s'agit d'un homme, d'une femme ou d'un couple. Vous lui dites que vous ne voulez qu'un homme et elle téléphone à celui qui leur donne le bain. "Est-ce qu'au moins un homme?" elle lui demande. "Oui!" elle vous informe avec un sourire. Quelle est la probabilité que l'autre soit un homme? - Stephen I. Geller, Pasadena, Californie

Le garçon a-t-il regardé les deux chiens avant de répondre «Oui» ou a-t-il pris un chien au hasard et a découvert qu'il s'agissait d'un mâle, puis a répondu «Oui»?

Dites qu'une femme et un homme (qui ne sont pas liés) ont chacun deux enfants. Nous savons qu'au moins un des enfants de la femme est un garçon et que son fils aîné est un garçon. Pouvez-vous expliquer pourquoi les chances que la femme ait deux garçons ne sont pas égales à celles que l'homme a deux garçons? Mon professeur d'algèbre insiste sur le fait que la probabilité que l'homme ait deux garçons est plus grande, mais je pense que les chances sont les mêmes. Qu'est-ce que tu penses?

Comment savons- nous que les femmes ont au moins un garçon? Avons-nous regardé par-dessus la clôture un jour et avons-nous vu l'un d'entre eux? ( Réponse: 50%, identique à l'homme )

La question a même fait trébucher notre propre Jeff Atwood . Il a posé cette question :

Supposons que, de manière hypothétique, vous avez rencontré quelqu'un qui vous a dit qu'ils avaient deux enfants et que l'un d'eux est une fille. Quelles sont les chances qu'une personne ait un garçon et une fille?

Jeff poursuit en affirmant qu'il s'agissait d'une question simple, posée dans un langage simple et écartant les objections de certains affirmant que la question est mal formulée si vous souhaitez que la réponse soit 2/3.

Plus important encore, c’est la raison pour laquelle la femme a fourni l’information. Si elle parlait comme les gens normaux , quand quelqu'un dit "l'une d'elles est une fille", inévitablement l'autre est un garçon. Si nous devons supposer que c'est une question logique, dans le but de nous faire trébucher, nous devrions demander que la question soit plus clairement définie. La femme a-t-elle proposé le sexe d'un de ses enfants, choisi au hasard, ou parle-t-elle de l'ensemble de ses deux enfants?

Il est clair que la question est mal formulée, mais les gens ne le réalisent pas. Lorsque des questions similaires sont posées, où les chances sont beaucoup plus grandes de changer, les gens réalisent soit que ce doit être une astuce (et remettent en question le motif de l'hôte), soit obtiennent la réponse "correcte" de changer, comme dans la question des cent portes . Cela est d' autant plus étayé par le fait que lorsqu'on interroge les médecins sur la probabilité qu'une femme présente une maladie particulière après un test positif (ils doivent déterminer si elle est atteinte de la maladie ou s'il s'agit d'un faux positif), ils réussissent mieux à obtenir le résultat escompté. bonne réponse, en fonction de la formulation de la question. Il y a une merveilleuse discussion TED qui couvre à mi-chemin cette affaire.

Il a décrit les probabilités associées à un test de cancer du sein: 1% des femmes testées sont atteintes de la maladie, et le test est précis à 90%, avec un taux de faux positifs de 9%. Avec toute cette information, que dites-vous à une femme dont le test est positif sur la probabilité qu’elle soit atteinte de la maladie?

Si cela vous aide, voici la même question, formulée d’une autre manière:

À 40 ans, 100 femmes sur 10 000 qui participent au dépistage systématique ont un cancer du sein. 90 femmes sur 100 atteintes d'un cancer du sein auront une mammographie positive. 891 femmes sur 9 900 sans cancer du sein auront également une mammographie positive. Si 10 000 femmes de ce groupe d'âge subissent un dépistage systématique, environ quel pourcentage de femmes dont la mammographie est positive aura effectivement un cancer du sein?

Je modifierais légèrement ce que Graham Cookson a dit. Je pense que la chose vraiment cruciale que les gens oublient n'est pas leur premier choix, mais le choix de l' hôte et l'hypothèse selon laquelle l'hôte s'est assuré de ne pas révéler la voiture.

En fait, lorsque je discute de ce problème en classe, je le présente en partie comme une étude de cas en expliquant clairement vos hypothèses. Il est dans votre intérêt de changer si l'hôte veille à ne révéler qu'une chèvre . D'autre part, si l'hôte choisit au hasard entre les portes 2 et 3 et révèle la présence d'une chèvre, il n'y a aucun avantage à changer de poste.

(Bien entendu, le résultat pratique est que si vous ne connaissez pas la stratégie de l'hôte, vous devez quand même changer de fournisseur.)

Cela ne donne pas une règle générale, mais je pense qu'une des raisons pour lesquelles c'est un puzzle difficile est que notre intuition ne gère pas très bien la probabilité conditionnelle. Il existe de nombreuses autres énigmes de probabilité qui jouent sur le même phénomène . Depuis que je fais un lien vers mon blog, voici un post spécifiquement sur Monty Hall .

Je conviens que les étudiants trouvent ce problème très difficile. La réponse typique que je reçois est qu’après avoir montré une chèvre, il ya 50% de chances d’obtenir la voiture, alors pourquoi est-ce important? Les étudiants semblent séparer leur premier choix de la décision à laquelle ils sont invités à prendre, c'est-à-dire qu'ils considèrent ces deux actions comme indépendantes. Je leur rappelle ensuite qu'ils étaient deux fois plus susceptibles d'avoir choisi la mauvaise porte au départ, ce qui explique pourquoi ils ont intérêt à changer de poste.

Ces dernières années, j'ai commencé à jouer au jeu en verre, ce qui aide les étudiants à comprendre beaucoup mieux le problème. J'utilise trois "rouleaux" de papier toilette en carton, deux trombones dans deux d'entre eux et un billet de 5 £ dans le troisième.

Je crois que c’est plus une question de logique que de difficulté de probabilité qui rend la solution de Monty Hall surprenante. Considérez la description suivante du problème.

Avant d’aller à l’émission télévisée, vous décidez à la maison si vous allez changer de porte ou si vous restez fidèle à votre premier choix, quoi qu’il se passe pendant l’émission. C'est-à-dire que vous choisissez entre les stratégies "Rester" ou "Basculer" avant de jouer au jeu. Il n'y a pas d'incertitude dans ce choix de stratégie. Il n'est pas nécessaire d'introduire des probabilités pour l'instant.

Comprenons les différences entre les deux stratégies. Encore une fois, nous ne parlerons pas de probabilités.

Sous la stratégie "Restez", vous gagnez si et seulement si votre premier choix est la "bonne" porte. D'autre part, sous la stratégie "Switch", vous gagnez si et seulement si votre premier choix est une "mauvaise" porte. S'il vous plaît, réfléchissez bien à ces deux cas pendant une minute, spécialement au second. Encore une fois, notez que nous n'avons pas encore parlé de probabilités. C'est juste une question de logique.

$1/3$$1/3$$2/3$

PS En 1990, le professeur Larry Denenberg a envoyé une lettre à l'animateur de l'émission de télévision Monty Hall lui demandant l'autorisation d'utiliser un livre dans un livre pour décrire le problème bien connu des trois portes.

Voici une image d'une partie de la réponse de Monty à cette lettre, où l'on peut lire:

"à mon avis, cela ne ferait aucune différence une fois que le joueur a sélectionné la porte A, et après avoir vu la porte C - pourquoi devrait-il alors tenter de passer à la porte B?"

Par conséquent, nous pouvons sans risque conclure que Monty Hall (l'homme lui-même) n'a pas compris le problème de Monty Hall!

Il n'est pas nécessaire de connaître la probabilité conditionnelle ou le théorème de Bayes pour savoir qu'il est préférable de changer de réponse.

Supposons que vous choisissiez initialement la porte 1. Ensuite, la probabilité que la porte 1 soit gagnante est de 1/3 et la probabilité que les portes 2 ou 3 soient gagnantes est de 2/3. Si le choix de l'hôte révèle que la porte 2 est perdante, la probabilité que 2 ou 3 soit un gagnant est toujours de 2/3. Mais comme la porte 2 est un perdant, la porte 3 doit avoir une probabilité de 2/3 d'être gagnante.

La leçon? Reformulez la question et recherchez une stratégie au lieu de regarder la situation. Renversez la chose, reculez ...

Les gens travaillent généralement mal avec le hasard. Les animaux s'en tirent généralement mieux lorsqu'ils découvrent que A ou B donne un rendement plus élevé en moyenne . ils collent au choix avec la meilleure moyenne. (ne pas avoir une référence prête - désolé.)

La première chose que les gens sont tentés de faire quand ils voient une distribution 80/20, est d’étaler leurs choix de manière à ce qu’ils correspondent au paiement: 80% sur le meilleur choix et 20% sur l’autre. Cela se traduira par un paiement de 68%.

Là encore, il existe un scénario valable pour choisir une telle stratégie: si les probabilités changent avec le temps, il y a de bonnes raisons d'envoyer une sonde et d'essayer le choix avec une probabilité de réussite plus faible.

Une partie importante de la statistique mathématique étudie en réalité le comportement des processus pour déterminer s'ils sont aléatoires ou non.

Je pense qu'il y a plusieurs choses qui se passent.

D'une part, la configuration implique plus d'informations que la solution prend en compte. Il s’agit d’un jeu télévisé et l’animateur nous demande si nous voulons changer de poste.

Si vous supposez que l'animateur ne veut pas que le spectacle dépense de l'argent supplémentaire (ce qui est raisonnable), alors vous supposerez qu'il essaierait de vous convaincre de changer si vous aviez la bonne porte.

C’est une façon sensée de considérer le problème qui peut dérouter les gens, mais j’estime que le problème principal n’est pas de comprendre en quoi le nouveau choix est différent du premier (ce qui est plus clair dans l’affaire des 100 portes).

Je citerai ce superbe article sur lesswrong:

Les hypothèses possibles sont Car dans la porte 1, Car dans la porte 2 et Car dans la porte 3; Avant le début de la partie, il n’ya aucune raison de croire que l’une des trois portes est plus susceptible de contenir la voiture que les autres. Aussi, chacune de ces hypothèses a-t-elle une probabilité préalable de 1/3.

Le jeu commence avec notre sélection d'une porte. Bien sûr, cela ne prouve pas où se trouve la voiture - nous supposons que nous n’avons aucune information particulière à ce sujet, mis à part le fait qu’elle se trouve derrière une des portes (c’est l’intérêt du jeu!). Une fois cela fait, nous aurons ensuite la possibilité de "lancer un test" pour obtenir des "données expérimentales": l'hôte s'acquittera de sa tâche en ouvrant une porte dont la garantie de contenir une chèvre est garantie. Nous allons représenter le résultat Host ouvre la porte 1 avec un triangle, le résultat Host ouvre la porte 2 avec un carré et le résultat Host ouvre la porte 3 avec un pentagone - divisant ainsi plus finement notre espace d’hypothèse en possibilités telles que "Car dans la porte 1 et l'hôte ouvre la porte 2 "," Voiture dans la porte 1 et l'hôte ouvre la porte 3 ", etc.:

Avant que nous ayons sélectionné initialement une porte, l'hôte est également susceptible d'ouvrir l'une ou l'autre des portes contenant des chèvres. Ainsi, au début du jeu, la probabilité de chaque hypothèse de la forme "Voiture dans la porte X et hôte ouvre la porte Y" a une probabilité de 1/6, comme indiqué. Jusqu'ici tout va bien; tout est encore parfaitement correct.

Maintenant, nous sélectionnons une porte; disons que nous choisissons la porte 2. L’hôte ouvre ensuite la porte 1 ou la porte 3 pour révéler une chèvre. Supposons qu'il ouvre la porte 1; notre diagramme ressemble maintenant à ceci:

Mais cela montre des chances égales que la voiture soit derrière les portes 2 et 3!

Avez-vous attrapé l'erreur?

Voilà comment votre intuition vous manque.

Découvrez la solution correcte dans l'article complet . Il comprend :

• Explication du théorème de Bayes
• Mauvaise approche de Monty Hall
• Bonne approche de Monty Hall
• Plus de problèmes ...

D'après mon expérience, c'est le fait que les gens ne sautent pas automatiquement des mots aux mathématiques. Normalement, lorsque je le présente pour la première fois, les gens se trompent. Cependant, je fais ensuite sortir un jeu de 52 cartes et les fais en choisir une. Je révèle ensuite cinquante cartes et leur demande s’ils veulent changer. La plupart des gens l'obtiennent alors. Ils savent intuitivement qu’ils ont probablement la mauvaise carte quand ils sont 52 et qu’ils voient une cinquantaine d’entre eux retournés, la décision est assez simple. Je ne pense pas que ce soit autant un paradoxe qu'une tendance à détourner l’esprit des problèmes de mathématiques.