Si et sont des événements indépendants et que et sont des événements indépendants, comment puis-je montrer que et sont indépendants?

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Soit et des événements indépendants, et que et soient des événements indépendants. Comment puis-je montrer que et sont également des événements indépendants? $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

Selon la définition des événements indépendants, et sont indépendants si et seulement si $A$ $B\cup C$

P (UNE \cap (B \cup C)) = P (UNE) P (B \cup C) .

$P(A\cap (B\cup C)) = P(A)P(B\cup C).$

Puisque et et et sont indépendants, je sais que $A$ $B$ $A$ $C$

P (UNE \cap B) = P (UNE) P (B) et P (UNE \cap C) = P (UNE) P (C) .

$P(A\cap B) = P(A)P(B) \quad\text{and}\quad P(A\cap C)=P(A)P(C).$

Cependant, je ne sais pas comment résoudre ce problème. J'ai essayé d'appliquer les règles de probabilité que je connais, mais je n'ai réussi à rien.

probability self-study independence

— jenn
source

Veuillez ajouter la [self-study]balise et lire son wiki .

— gung - Réintégrer Monica

3

Je trouve un peu décevant que les gens viennent de faire le problème ici. Indépendamment de la présence de la balise "self-study", nous savons tous à quoi cela ressemble de me dire une réponse et à quoi cela ressemble-t-il d'être conduit à une réponse. Ce dernier est presque toujours plus significatif.

— jlimahaverford

Je vous ai voté, maintenant je me demande même qu'il manque quelque chose à la fois pour ma solution et la solution de jtobin. Puisque nous supposons tous les deux que A, B et C sont mutuellement indépendants, ce qui pourrait ne pas être correct.

— Deep North

Hmmm. C'est un bon point. Je vais régler ça moi-même.

— jlimahaverford

3

Ce qui est particulièrement décevant, c'est que cette question a reçu trois réponses incorrectes, bien que deux puissent encore être modifiées. Considérez deux lancers indépendants d'une pièce de monnaie équitable, et laissez et être les événements que le premier et le deuxième lancer ont donné respectivement des têtes et des queues et l'événement où exactement un tirage a donné lieu à des têtes. Ainsi, , , de sorte que sont indépendants tels quels . Mais , c'est-à-dire et

B = {H T, H H}

$B= \{HT,HH\}$

C = {H T, T T}

$C=\{HT,TT\}$

A = {H T, T H}

$A=\{HT,TH\}$

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}

$P(A)=P(B)=P(C)=\frac 12$

P (A \cap B) = P (A \cap C) = \frac{1}{4}

$P(A\cap B)=P(A\cap C)=\frac 14$

A, B

$A,B$

A, C

$A,C$

P (B \cup C) = \frac{3}{4}, P (A \cap (B \cup C) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(B\cup C)=\frac 34,P(A\cap(B\cup C)=\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$ sont dépendants.

— Dilip Sarwate

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Soit et des événements indépendants, et que et soient des événements indépendants. Comment puis-je montrer que et sont également des événements indépendants? $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

Vous ne pouvez pas afficher ce résultat car il ne s'applique pas à tous les bénéficiant de ces propriétés. Considérez le contre-exemple suivant. $A, B, C$

Considérez deux lancers indépendants d'une pièce de monnaie équitable. Soit et les événements que le premier et le deuxième lancer ont respectivement engendrés dans les têtes et les queues. Soit l'événement où exactement un tirage a donné des têtes. $B=\{HT,HH\}$ $C=\{HT,TT\}$ $A=\{HT,TH\}$

Alors, tandis que et donc et sont des événements indépendants comme Événements indépendants et En effet, et sont également des événements indépendants (c'est-à-dire que , et sont des événements indépendants par paire ). Cependant, et donc et sont des événements dépendants . $P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$ $P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac 14$ $A$ $B$ $A$ $C$ $B$ $C$ $A$ $B$ $C$

P (A) = \frac{1}{2} and P (B \cup C) = \frac{3}{4} while P (A \cap (B \cup C)) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(A) = \frac 12 ~ \text{and}~ P(B\cup C)=\frac 34 ~ \text{while}~ P(A\cap(B\cup C)) =\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

En mettant de côté notre contre-exemple, considérons les conditions nécessaires pour rendre les événements et indépendants. Les autres réponses ont déjà fait le travail pour nous. Nous avons que et donc est égal à (comme cela est nécessaire pour prouver que et sont des événements indépendants) exactement quand $A$ $B\cup C$

\begin{aligned} P (A \cap (B \cup C)) & = P ((A \cap B) \cup (A \cap C)) \\ = P (A \cap B) + P (A \cap C) - P (((A \cap B) \cap (A \cap C)) \\ = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A \cap B \cap C) \\ = P (A) (P (B) + P (C) - P (B \cap C)) + (P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)) \\ = P (A) P (B \cup C) + [P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)] \end{aligned}

$\begin{align} P(A\cap (B\cup C)) &= P((A\cap B) \cup (A\cap C))\\ &= P(A\cap B) + P(A\cap C) - P(((A\cap B) \cap (A\cap C))\\ &= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A\cap B \cap C)\\ &= P(A)\left(P(B) + P(C) - P(B\cap C)\right) + \left(P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right)\\ &= P(A)P(B\cup C) + \left[P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right] \end{align}$

P (A \cap (B \cup C))

$P(A\cap (B\cup C))$

P (A) P (B \cup C)

$P(A)P(B \cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$ est égal à , c'est-à-dire lorsque et sont des événements indépendants.

P (A \cap B \cap C) = P (A \cap (B \cap C))

$P(A\cap B \cap C) = P(A\cap (B\cap C))$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

$A$ et sont des événements indépendants chaque fois que et sont des événements indépendants. $B\cup C$ $A$ $B\cap C$

Notez que le fait que et soient indépendants ou non n'est pas pertinent pour le problème en question: dans le contre-exemple ci-dessus, et étaient des événements indépendants et pourtant et n'étaient pas des événements indépendants. Bien sûr, comme l'a noté Deep North, si , et sont des événements mutuellement indépendants (ce qui nécessite non seulement l'indépendance de et mais aussi de à maintenir), puis et $B$ $C$ $B$ $C$ $A = \{HT, TH\}$ $B\cap C = \{HT\}$ $A$ $B$ $C$ $B$ $C$ $P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ $A$ $B\cap C$ sont en effet des événements indépendants. L'indépendance mutuelle de , et est une condition suffisante . $A$ $B$ $C$

En effet, si et sont des événements indépendants, puis, en même temps que l'hypothèse selon laquelle et sont indépendants, tout comme et événements indépendants, on peut montrer que est indépendant de tous des événements , c'est-à-dire des événements de l' algèbre générée par et ; un de ces événements est . $A$ $B\cap C$ $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $4$ $B\cap C, B\cap C^c, B^c\cap C, B^c\cap C^c$ $16$ $\sigma$ $B$ $C$ $B\cup C$

— Dilip Sarwate
source

J'ajouterais qu'une façon triviale de maintenir la condition encadrée est et disjoints, car alors .

B

$B$

C

$C$

P (B \cap C) = 0

$P(B\cap C)=0$

— Miguel

@Miguel Oui, c'est une autre condition suffisante pour que et soient des événements indépendants, tout comme l'indépendance mutuelle de est une condition suffisante comme le dit ma réponse. Ma réponse est de savoir quelle est la condition nécessaire pour que et soient des événements indépendants.

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

A, B, C

$A,B,C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

— Dilip Sarwate

6

Deux choses.

1) Existe-t-il un moyen de réécrire l'événement . Intuitivement, nous savons comment A, B et A, C interagissent, mais nous ne savons pas comment B, C interagissent. Donc se met en travers de notre chemin. $A \cap (B\cup C)$ $(B\cup C)$

2) Connaissez-vous un moyen de réécrire ? $P(X\cup Y)$

Même si vous n'obtenez pas immédiatement la réponse, veuillez modifier votre réponse avec les réponses à ces questions et nous irons de là.

Éditer

Veuillez me vérifier à ce sujet. Je crois que j'ai un contre-exemple.

Lancer un dé pour obtenir X.

A: X <4

B: X dans {1, 4}

C: X dans {1, 5}

— jlimahaverford
source

1

J'irais par cette réponse! Essayez de vous débrouiller! vous ne gagnez pas trop en voyant simplement la réponse!

— Gumeo

2

Selon le commentaire de Dilip Sarwate, ces événements ne sont manifestement pas indépendants.

La façon typique dont j'essayerais de prouver l'indépendance procède comme ceci:

\begin{aligned} P (A, B \cup C) & = P ({A, B} \cup {A, C}) & distributive property \\ = P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) & sum rule \end{aligned}

$\begin{align*} P(A, B \cup C) & = P(\{A, B\} \cup \{A, C\}) & \text{distributive property} \\ & = P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) & \text{sum rule} \end{align*}$

et ici vous voudriez factoriser de l'expression afin d'établir la propriété , ce qui serait suffisant pour prouver indépendance. Cependant, si vous essayez de le faire ici, vous êtes coincé: $P(A)$ $P(A, B \cup C) = P(A)P(B \cup C)$

P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) = P (A) {P (B) + P (C) - P (B, C | UNE)}

$P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) = P(A) \{ P(B) + P(C) - P(B,C \, | \, A) \}$

Notez que l'expression contreventée est presque , ce qui vous permettrait d'atteindre votre objectif. Mais vous ne disposez d'aucune information vous permettant de réduire davantage . $P(B) + P(C) - P(B,C)$ $P(B,C \, | \, A)$

Notez que dans ma réponse d'origine, j'avais affirmé sans scrupule que et donc affirmé à tort que le résultat demandé à prouver était vrai; c'est facile de gâcher! $P(B, C \, | \, A) = P(A)P(B, C)$

Mais étant donné qu'il s'avère difficile de démontrer l'indépendance de cette manière, une bonne étape suivante consiste à rechercher un contre-exemple, c'est-à-dire quelque chose qui fausse la revendication d'indépendance. Le commentaire de Dilip Sarwate sur le PO comprend exactement un tel exemple.

— jtobin
source

Pourquoi sur la deuxième ligne est-il égal à sur la troisième ligne? Il n'est pas donné que est indépendant de , juste de , et de _ séparément.

P (A, B, C)

$P(A,B,C)$

P (A) P (B, C)

$P(A)P(B,C)$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

B

$B$

C

$C$

— Dilip Sarwate

Donc, après votre édition, est-ce juste la dérivation qui est bâclée mais le résultat revendiqué est lui-même correct, c'est-à-dire que est en effet indépendant de car l'OP est chargé de prouver? Ou est-ce que la dérivation ne prouve pas l'affirmation selon laquelle est indépendant de ?

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Ma dérivation ne prouve pas la réclamation; ma modification a également changé l' assertion erronée en pour essayer de clarifier cela. Je modifierai à nouveau la réponse pour être plus explicite.

=

$=$

\neq

$\neq$

— jtobin

OK, +1 pour avoir corrigé votre réponse.

— Dilip Sarwate

1

$P[A \cap(B \cup C)]=P[(A \cap B) \cup (A \cap C)]=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[( A \cap B)\cap (A \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A \cap B \cap C)$

$P(A)*P(B \cup C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)*P( B \cap C)$

Maintenant, nous devons montrer $P(A \cap B \cap C)=P(A)*P( B \cap C)$

Si sont mutuellement indépendants, les résultats sont évidents. $A, B,C$

Bien que la condition soit et sont indépendantes et et sont indépendantes ne garantissent pas indépendant de et $A$ $B$ $A$ $C$ $B$ $C$

Par conséquent, le PO devra peut-être réexaminer l'état de la question.

— Deep North
source

Dans votre deuxième longue équation, vous avez obtenu un terme lorsque vous avez multiplié cette expression du milieu. Mais vous avez plutôt écrit , c'est-à-dire que vous avez assimilé et , en supposant en effet que et sont indépendants. Pourquoi donc?

- P (A) P (B \cap C)

$-P(A)P(B\cap C)$

- P (A \cap B \cap C)

$-P(A\cap B \cap C)$

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$

P (A \cap B \cap C)

$P(A\cap B \cap C)$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

— Dilip Sarwate

Merci, c'est un indépendant supposé qui peut ne pas être correct.

— Deep North

-1

P {A (B + C)} = P (AB + BC) = P (AB) + P (AC) -P (ABC) = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A) P (BC) [A, B, C sont mutuellement indépendants] = P (A) [P (B) + P (C) -P (BC)] = P (A) P (B + C) Par conséquent, A et B + C sont indépendants.

— Srishti Mondal
source