Considérons une distribution deux fois différentiable et symétrique . Considérons maintenant une seconde distribution deux fois différentiable rigth asymétrique en ce sens que:$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

où est l'ordre convexe de van Zwet [0] de sorte que est équivalent à:$\preceq_c$$(1)$

$$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$$

Considérons maintenant une troisième distribution deux fois différentiable satisfaisante:$\mathcal{F}_Y$

$$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

Ma question est: peut-on toujours trouver une distribution et une distribution symétrique pour réécrire n'importe quel (tous les trois définis comme ci-dessus) en termes de composition de et comme:$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Y$

$$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$$

ou pas?

Éditer:

Par exemple, si est le Weibull avec le paramètre de forme 3.602349 (pour qu'il soit symétrique) et est la distribution de Weibull avec le paramètre de forme 3/2 (pour qu'il soit asymétrique à droite), Je reçois$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$$

en définissant comme distribution de Weibull avec le paramètre de forme 2.324553. Notez que les trois distributions satisfont:$\mathcal{F}_Y$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$$ besoins. Je me demande si cela est vrai en général (dans les conditions énoncées).

• [0] van Zwet, WR (1979). Moyenne, médiane, mode II (1979). Statistica Neerlandica. Volume 33, numéro 1, pages 1 à 5.

Non!

Un contre-exemple simple est fourni par la distribution de Tukey (le cas spécial pour de la distribution de Tukey et ).$g$$h=0$$g$$h$

Par exemple, soit soit le Tukey avec le paramètre et soit le Tukey avec le paramètre et une distribution Tukey pour laquelle . Puisque , ces trois distributions satisfont:$\mathcal{F}_X$$g$$g_X=0$$\mathcal{F}_Z$$g$$g_Z>0$$\mathcal{F}_Y$$g$$g_Y\leq g_Z$$h=0$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

(le premier vient de la définition du Tukey qui est symétrique si , les suivants de [0], Théorème 2.1 (i)).$g$$g=0$

Par exemple, pour , nous avons:$g_Z=0.5$

$$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$$

(pour une raison quelconque, le minimum semble toujours être proche de ).$g_Y\approx g_Z/2$

• [0] Propriétés de la forme HL MacGillivray des familles g-and-h et Johnson. Comm. Statist. — Theory Methods, 21 (5) (1992), p. 1233-1250

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Éditer:

Dans le cas du Weibull, l'affirmation est vraie:

Soit la distribution de Weibull avec le paramètre de forme (le paramètre d'échelle n'affecte pas l'ordre convexe, nous pouvons donc le mettre à 1 sans perte de généralité). De même , et et .$\mathcal{F}_Z$$w_Z$$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$w_Y$$w_X$

Notons tout d'abord que trois distributions de Weibull peuvent toujours être ordonnées dans le sens de [0].

Ensuite, notez que:

$$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$$

Maintenant, pour le Weibull:

$$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$$

pour que

$$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$$

depuis

$$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$$

Par conséquent, la revendication peut toujours être satisfaite en définissant .$w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

• [0] van Zwet, WR (1979). Moyenne, médiane, mode II (1979). Statistica Neerlandica. Volume 33, numéro 1, pages 1 à 5.
• [1] Groeneveld, RA (1985). Asymétrie pour la famille Weibull. Statistica Neerlandica. Volume 40, numéro 3, pages 135–140.