Trouver la distribution conjointe de et

Cette question est tirée de la question 7.6.7 de l'introduction à la statistique mathématique de Robert Hogg, 6e version. Le problème est :

Soit un échantillon aléatoire de taille d'une distribution avec le pdf $n$
$f (x; θ) = (1 / θ) \exp (- x / θ) I_{(0, \infty)} (x)$ $f(x;\theta)=(1/\theta)\exp(-x/\theta)\mathbb{I}_{(0,\infty)}(x)$

Trouvez le MLE et la MVUE de . $P(X \le 2)$

Je sais comment trouver le MLE.

Je pense que l'idée de trouver le MVUE est d'utiliser Rao-Blackwell et Lehmann et Scheffe. Nous trouvons d'abord un estimateur sans biais de qui peut être , et nous savons a statistique suffisante. $P(X \le 2)$ $\mathbb{I}_{(0,2)}(X_1)$ $Y=\sum_{i=1}^n X_i$

Alors sera le MUVE. $\mathbb{E}[I_{(0,2)}(X_1)\mid Y]$

Pour trouver l'espérance, nous avons besoin de la distribution conjointe de et $X_1$ $Y=\sum_{i=1}^n X_i$

Je suis coincé ici.

Le livre a une solution, mais je ne comprends pas la solution. La solution dit que nous devons trouver la distribution conjointe de et mais en laissant d'abord et le jacobien en est un puis nous intégrons ces autres variables. $Z=X_1$ $Y$ $V=X_1+X_2$ $U=X_1+X_2+X_3+...$

Comment se fait-il que le jacobien soit égal à un?

La réponse pour la distribution conjointe est
$g (z, y; θ) = \frac{(y - z)^{n - 2}}{(n - 2)! θ^{n}} e^{- y / θ}$ $g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{(n-2)!\theta^n}e^{-y/\theta}$

Comment obtenons-nous cela?

Mise à jour: Comme suggéré par Xi'an (la transformation suggérée par le livre prête à confusion), faisons la transformation de la manière suivante:

Laisser

\begin{aligned} Y_{1} & = X_{1}, \\ Y_{2} & = X_{1} + X_{2}, \\ Y_{3} & = X_{1} + X_{2} + X_{3}, \\ Y_{4} & = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4}, \\ ⋮ \\ Y_{n} & = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + \dots + X_{n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_1 & =X_1, \\Y_2 & =X_1+X_2,\\ Y_3 & =X_1+X_2+X_3, \\Y_4 & =X_1+X_2+X_3+X_4, \\ & \quad \vdots \\Y_n & =X_1+X_2+X_3+X_4+\cdots+X_n \end{align}$

puis

\begin{aligned} X_{1} & = Y_{1}, \\ X_{2} & = Y_{2} - Y_{1}, \\ X_{3} & = Y_{3} - Y_{2}, \\ X_{4} & = Y_{4} - Y_{3}, \\ ⋮ \\ X_{n} & = Y_{n} - Y_{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align} X_1 & =Y_1, \\ X_2 & =Y_2-Y_1,\\ X_3 & =Y_3-Y_2,\\X_4 & =Y_4-Y_3,\\ & \,\,\,\vdots \\ X_n & =Y_n-Y_{n-1} \end{align}$

et le jacobien correspondant est:

| J | = | \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{n}} \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{n}} \\ \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{n}} \end{matrix} | = \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & 1 \end{array} = 1

$\left | J \right |=\begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} &\frac{\partial x_1}{\partial y_2} &\frac{\partial x_1}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_1}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} &\frac{\partial x_2}{\partial y_2} &\frac{\partial x_2}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_2}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_3}{\partial y_1} &\frac{\partial x_3}{\partial y_2} &\frac{\partial x_3}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_3}{\partial y_n} \\ \vdots&\vdots & \vdots & &\vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1} &\frac{\partial x_n}{\partial y_2} &\frac{\partial x_n}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{vmatrix}=\begin{array}{r} 1& 0 &0 & \cdots &0 &0 \\ -1& 1 & 0 & \cdots & 0&0\\ 0&-1 & 1 & \cdots &0 &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0&0 &0 & \cdots & -1&1 \end{array}=1$

Puisque sont iid [ou ], la densité conjointe de est: $X_1,X_2,\ldots,X_n$ $\Gamma(1,\theta)$ $\mathcal{E}(1/\theta)$ $x_1,x_2,\ldots,x_n$

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \frac{1}{θ} \exp (- x_{1} / θ) \times \frac{1}{θ} \exp (- x_{2} / θ) \times \dots \times \frac{1}{θ} \exp (- x_{n} / θ) I_{x_{1} \geq 0} \dots I_{x_{n} \geq 0}

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{1}{\theta}\exp(-x_1/\theta) \times\frac{1}{\theta} \exp(-x_2/\theta)\times \cdots\times\frac{1}{\theta}\exp(-x_n/\theta) \mathbb{I}_{x_1\ge 0} \cdots\mathbb{I}_{x_n\ge 0}$

Par conséquent, le pdf commun de est $(Y_1,Y_2,\ldots, Y_n)$

\begin{aligned} h (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) & = \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{1} / θ) \exp [- (y_{2} - y_{1}) / θ] \exp [- (y_{3} - y_{2}) / θ] \dots \exp [- (y_{n} - y_{n - 1}) / θ] | J | I_{y_{1} \geq 0} I_{y_{2} - y_{1} \geq 0} \dots I_{y_{n} - y_{n - 1} \geq 0} \\ = \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) I_{y_{1} \geq 0} I_{y_{2} \geq y_{1}} \dots I_{y_{n} \geq y_{n - 1}} \end{aligned}

$\begin{align*}h(y_1,y_2,\ldots,y_n)&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_1/\theta)\exp[-(y_2-y_1)/\theta]\exp[-(y_3-y_2)/\theta]\cdots\exp[-(y_n-y_{n-1})/\theta]\left |J \right |\mathbb{I}_{y_1\ge 0}\mathbb{I}_{y_2-y_1\ge 0}\cdots\mathbb{I}_{y_n-y_{n-1} \ge 0}\\&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\mathbb{I}_{y_1\ge 0} \mathbb{I}_{y_2\ge y_1}\cdots\mathbb{I}_{y_n\ge y_{n-1}}\end{align*}$

Ensuite, nous pouvons intégrer pour obtenir le pdf commun et $y_2,y_3,\ldots,y_{n-1}$ $y_1$ $y_n$

Grâce aux suggestions de Xi'an, maintenant je peux résoudre le problème, je vais donner des calculs détaillés ci-dessous

\begin{aligned} g (y_{1}, y_{n}) = & \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}} \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) d y_{n - 1} d y_{n - 2} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \\ \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}} d y_{n - 1} d y_{n - 2} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 4}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} (y_{n} - y_{n - 2}) d y_{n - 2} d y_{n - 3} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 5}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 4}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 3})^{2}}{2} d y_{n - 3} d y_{n - 4} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 6}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 5}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 4})^{3}}{2 \times 3} d y_{n - 4} d y_{n - 5} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 7}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 6}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 5})^{4}}{2 \times 3 \times 4} d y_{n - 5} d y_{n - 4} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \dots \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \frac{(y_{n} - y_{1})^{n - 2}}{(n - 2)!} \end{aligned}

$\begin{align} g(y_1,y_n) = {} &\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-3}}^{y_n} \int_{y_{n-2}}^{y_n} \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)dy_{n-1}dy_{n-2} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\\ & \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-3}}^{y_n}\int_{y_{n-2}}^{y_n} \, dy_{n-1}\,dy_{n-2}\cdots dy_3\,dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-4}}^{y_n}\int_{y_{n-3}}^{y_n}(y_n-y_{n-2})\,dy_{n-2}\,dy_{n-3}\cdots dy_3\,dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-5}}^{y_n}\int_{y_{n-4}}^{y_n}\frac{(y_n-y_{n-3})^2}{2}dy_{n-3} \,dy_{n-4}\cdots dy_3 \, dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n }\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-6}}^{y_n} \int_{y_{n-5}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-4})^3}{2 \times 3} \, dy_{n-4} \, dy_{n-5} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-7}}^{y_n} \int_{y_{n-6}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-5})^4}{2 \times 3 \times 4} \, dy_{n-5} \, dy_{n-4} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \cdots \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\frac{(y_n-y_1)^{n-2}}{(n-2)!} \end{align}$

Changez la notation du livre, , nous obtenons $y=y_n, z=y_1$

g (z, y; θ) = \frac{(y - z)^{n - 2}}{θ^{n} (n - 2)!} e^{- y / θ} .

$g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{\theta^n(n-2)!}e^{-y/\theta}.$

Cela résout le problème.

— Deep North
source

Je ne comprends pas la notion de passer par mais la transformation de à a un jacobien, appliquez simplement la définition d'un jacobien.

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

(x_{1}, . . ., x_{n})

$(x_1,...,x_n)$

(x_{1}, x_{1} + x_{2}, \dots, x_{1} + \dots + x_{n})

$(x_1,x_1+x_2,\ldots,x_1+\ldots+x_n)$

— Xi'an

@ Xi'an, merci. J'ai essayé la transformation mais je ne toujours pas à trouver la solution suggérée par le livre

Y_{1} = X_{1}, Y_{2} = X_{1} + X_{2}, . . ., Y_{n} = X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}

$Y_1=X_1, Y_2=X_1+X_2,..., Y_n=X_1+X_2+...+X_n$

— Deep North

Vous y êtes presque: j'ai corrigé la dérivation de la densité conjointe de en ajoutant les fonctions d'indicateur. Cela implique que les limites des intégrales de doivent être si vous abord , puis , puis ... Cela vous fournira le manquant.

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1,\ldots,Y_n)$

y_{2}, \dots, y_{n - 1}

$y_2,\ldots,y_{n-1}$

\int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}}

$\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-2}}^{y_n}$

y_{n - 1}

$y_{n-1}$

y - n - 2

$y-{n-2}$

(n - 2)!

$(n-2)!$

— Xi'an

L'argument de la transformation fonctionne bien et est toujours utile, mais je vais maintenant suggérer une autre façon de résoudre ce problème qui présente une certaine ressemblance avec la méthode que vous utiliseriez si les variables étaient discrètes. Rappelons que la principale différence est que tandis que pour une variable aléatoire discrète, est bien défini pour un rv continu , , nous devons donc être un peu prudents. $X$ $P(X=x)$ $Y$ $P(Y=y)=0$

Soit et nous recherchons maintenant la distribution conjointe $S=\sum_{i=1}^n X_i$

f_{X_{1}, S} (x_{1}, s)

$f_{X_1, S} \left(x_1, s \right)$

que nous pouvons approximer avec la probabilité

\begin{aligned} f_{X_{1}, S} (x_{1}, s) & \approx P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}, s < S < s + Δ s] \\ \approx P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}, s - x_{1} < \sum_{i = 2}^{n} X_{i} < s - x_{1} + Δ s] \\ = P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}] P [s - x_{1} < \sum_{i = 2}^{n} X_{i} < s - x_{1} + Δ s] \\ \approx \frac{1}{θ} \exp {- \frac{x_{1}}{θ}} \frac{{(s - x_{1})}^{n - 2} \exp {- \frac{s - x_{1}}{θ}}}{Γ (n - 1) θ^{n - 1}} \\ = \frac{{(s - x_{1})}^{n - 2}}{θ^{n} (n - 2)!} \exp {- \frac{s}{θ}} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X_1, S} \left(x_1, s \right) &\approx P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 , s<S<s+\Delta s \right] \\ &\approx P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 , s-x_1<\sum_{i=2}^n X_i<s-x_1+\Delta s \right] \\ &= P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 \right] P \left[ s-x_1<\sum_{i=2}^n X_i<s-x_1+\Delta s \right] \\ &\approx \frac{1}{\theta} \exp\left\{-\frac{x_1}{\theta}\right\} \frac{ \left(s-x_1\right)^{n-2} \exp\left\{-\frac{s-x_1}{\theta} \right\}}{\Gamma \left(n-1 \right) \theta^{n-1}} \\ &= \frac{\left(s-x_1\right)^{n-2}}{\theta^n \left(n-2\right)!} \exp\left\{-\frac{s}{\theta} \right\} \end{align}$

pour . Notez que dans la quatrième ligne, nous avons utilisé la propriété d'additivité de la distribution gamma, dont l'exponentielle est un cas spécial. $0<x_1<s<\infty$

Si vous ajustez la notation, nous obtenons la même chose ici que ci-dessus. Cette méthode vous permet de vous en sortir avec l'intégration multiple et c'est pourquoi je la préfère. Encore une fois, soyez prudent dans la façon dont vous définissez les densités.

J'espère que cela t'aides.

— JohnK
source

Corrigez-moi si je me trompe, mais je ne pense pas qu'il soit nécessaire de trouver la distribution conditionnelle pour trouver l'attente conditionnelle pour l'UMVUE. Nous pouvons trouver la moyenne conditionnelle en utilisant des relations bien connues entre des variables indépendantes Bêta et Gamma. Plus précisément, le fait que si et sont des variables Gamma indépendantes, alors est une variable Gamma, et elle est indépendante de la variable Beta . $U$ $V$ $U+V$ $\frac{U}{U+V}$

Ici, notez que et sont distribués indépendamment. Et est distribué indépendamment de . $X_1\sim\text{Gamma}(1,\frac{1}{\theta})$ $\sum_{i=2}^nX_i\sim\text{Gamma}(n-1,\frac{1}{\theta})$ $X_1+\sum_{i=2}^nX_i\sim\text{Gamma}(n,\frac{1}{\theta})$ $\dfrac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\sim\text{Beta}(1,n-1)$

Définissez $h(X_1,\cdots,X_n)=\begin{cases}1&,\text{ if }X_1\le2\\0&,\text{ otherwise }\end{cases}$

$T=\sum_{i=1}^n X_i$ est complet suffisant pour la famille de distributions . $\{1-\exp(-\frac{x}{\theta}):\theta>0\}$

Donc UMVUE de est par le théorème de Lehmann-Scheffe. $P(X\le 2)$ $E(h\mid T)$

Nous avons,

\begin{aligned} E (h ∣ T = t) & = P (X_{1} \leq 2 ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t} ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{X_{1} + \sum_{i = 2}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t} ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{X_{1} + \sum_{i = 2}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t}) \\ = \int_{0}^{2 / t} \frac{(1 - x)^{n - 2}}{B (1, n - 1)} d x \\ = 1 - {(1 - \frac{2}{t})}^{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align}E(h\mid T=t)&=P(X_1\le2\mid \sum_{i=1}^n X_i=t)\\&=P\left(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^nX_i}\le\frac{2}{t}\mid\sum_{i=1}^n X_i=t\right)\\&=P\left(\frac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\le\frac{2}{t}\mid\sum_{i=1}^n X_i=t\right)\\&=P\left(\frac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\le\frac{2}{t}\right)\\&=\int_0^{2/t}\frac{(1-x)^{n-2}}{B(1,n-1)}\,\mathrm{d}x\\&=1-\left(1-\frac{2}{t}\right)^{n-1}\end{align}$

Par conséquent, l'UMVUE de doit être . $P(X\le2)$ $1-\left(1-\dfrac{2}{\sum_{i=1}^nX_i}\right)^{n-1}$

— TêtuAtom
source

J'aime mieux cette réponse.

— hyg17