Pourquoi une variable aléatoire «binomiale négative» s'appelle-t-elle ainsi?

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Je ne comprends pas pourquoi la variable aléatoire "binôme négatif" porte ce nom. Qu'est-ce qui est négatif? Qu'est-ce que le binôme? Quel est le binôme négatif à ce sujet?

— Hatchepsout
source

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Voir également les commentaires sous cette question plus générale - qui mérite vraiment une bonne réponse, mea culpa .

— Glen_b -Reinstate Monica

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C'est une référence au fait qu'un certain coefficient binomial qui apparaît dans la formule de cette distribution peut être écrit plus simplement avec des nombres négatifs.

Lorsque vous effectuez une série d'expériences avec une probabilité de succès $p$ , la probabilité que vous constatiez $r$ échecs après exactement $k$ essais est

. ${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

Cela peut aussi s'écrire

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

et le mot «négatif» fait référence à dans ce coefficient binomial. Observez à quoi cette formule ressemble exactement à la formule de la distribution binomiale ordinaire, à l'exception de ce coefficient de signe. $−r$

Un autre nom pour la distribution binomiale négative est la distribution de Pascal donc il y a ça aussi.

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Réponse plus détaillée selon Wikipedia:

La fonction de masse de probabilité de la distribution binomiale négative est

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Ici, la quantité entre parenthèses est le coefficient binomial, et est égale à

. $\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$

Cette quantité peut également être écrite de la manière suivante, en expliquant le nom «binôme négatif»:

. $\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$

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(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

r

$r$

k

$k$

k

$k$

r

$r$

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Habitants de StatsExchange, tout d'abord, la bonne nouvelle, cet auteur copie la formule Wikipédia pour que tout se passe bien. La description que cet auteur a écrite était incorrecte. Il aurait dû écrire la probabilité d'obtenir r échecs après k + r traînées.
Notez que dans les premiers essais k + r-1, il y a exactement r-1 échecs et k succès. Par conséquent, la formule comprend correctement (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Alors, par définition, l'essai final, à savoir le k + r e essai, doit être le r e échec. Cet événement est indépendant, donc nous multiplions simplement sa probabilité 1-p pour trouver la probabilité indiquée.

— Shawn Berry
source

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— Ertxiem - réintègre Monica le