L'ajustement du modèle de Cox avec des strates et l'interaction strate-covariable diffère-t-il de l'ajustement de deux modèles de Cox?

Dans Regression Modeling Strategies de Harrell (deuxième édition), il y a une section (S. 20.1.7) traitant des modèles de Cox, y compris une interaction entre une covariable dont nous voulons également estimer l'effet principal sur la survie (âge dans l'exemple ci-dessous) et un covariable dont nous ne voulons pas estimer l'effet principal (sexe dans l'exemple ci-dessous).

Concrètement: supposons que dans une population le danger (inconnu, vrai) $h(t)$ suit le modèle

$$h(t) = \begin{cases} h_f(t) \exp(\beta_1 \textrm{age}), & \textrm{for female patiens} \\ h_m(t) \exp((\beta_1 + \beta_2) \textrm{age}), & \textrm{for male patiens} \end{cases}$$ où$h_f$ ,$h_m$ sont inconnus, vrai, à ne pas estimer les fonctions de risque de base et$\beta_1$ ,$\beta_2$ sont des paramètres réels inconnus à estimer à partir des données.

(Cet exemple est tiré presque littéralement du livre.)

Harrell remarque maintenant que la situation ci-dessus peut être réécrite sous la forme du modèle de modèle de Cox stratifié 1 :

$$h(t) = h_{\textrm{gender}}(t) \exp(\beta_1 \textrm{age} + \beta_2 X)$$ où le «terme d'interaction»$X$ est égal à zéro pour les femmes et à l'âge pour les hommes. C'est pratique car cela signifie que nous pouvons utiliser la technique standard pour estimer$\beta_1$ et$\beta_2$ .

Maintenant pour la question. Supposons que deux chercheurs A et B reçoivent le même échantillon de patients issus de la population décrite ci-dessus. Chercheur Un modèle unique 1, obtenant des estimations ß 1 , β 2 pour les vrais paramètres ß 1 , β 2 avec des intervalles de confiance.$\hat{\beta}_1$$\hat{\beta}_2$$\beta_1, \beta_2$

Le chercheur B adopte l'approche la plus naïve de l'ajustement de deux modèles de Cox ordinaires (c'est-à-dire non satisfaits): modèle 2a:

$$h(t) = h_f(t)\exp(\gamma_1 \textrm{age})$$ sur les patientes de l'échantillon uniquement et modèle 2b: $$h(t) = h_m(t)\exp(\gamma_2 \textrm{age})$$ sur les patients masculins de l'échantillon uniquement. On obtient ainsi des estimations $\hat{\gamma_1}$ , $\hat{\gamma_2}$des vrais paramètres $\beta_1, \beta_1 + \beta_2$ respectivement, ainsi que des intervalles de confiance.

Question:

• Sont ces estimations nécessairement les mêmes (dans le sens où β 1 = γ 1 , B 2 = γ 2 - γ 1 )? (Rappelons que les deux chercheurs regardent les mêmes données.)$\hat{\beta}_1 = \hat{\gamma}_1$$\hat{\beta}_2 = \hat{\gamma}_2 - \hat{\gamma}_1$
• Les intervalles de confiance sont-ils nécessairement les mêmes?
• Est-il logique de dire que le chercheur A a un avantage psychologique sur le chercheur B dans le cas où $\beta_2 = 0$ , car le chercheur A est alors plus susceptible de soupçonner cela et de passer à l'estimation du modèle le plus parcimonieux $h(t) = h_{\textrm{gender}}(t)\exp(\beta_1 \textrm{age})$ ?

$Y_M=\alpha_M+\beta_M*age$$Y_F=\alpha_F+\beta_F*age$ summarized by: $Y=\lambda+\lambda_F*F+\gamma*age+\gamma_F*F*age$, so that you could directly estimate the gender difference both in intercept and in slope. In fact: $\alpha_M=\lambda, \beta_M=\gamma, \alpha_F-\alpha_M=\lambda_F,\beta_F-\beta_M=\gamma_F$. In that case, I agree with you that the unique model would allow to have an immediate idea on the gender difference (given by the interaction parameters, $\lambda_F$, since the slope difference has a clearer interpretation, and your question refers to that). However, with the Cox model things are different. First of all, if we don't include gender in the regression there may be a reason, i.e. that it doesn not fulfill the proportional hazard assumption. Also, if we build a unique model with gender as an interaction term, we are assuming a common baseline hazard function (unless I misunderstood the meaning of $h_{\textrm{gender}}(t)$), while the two-separate-models approach allow for two separate baseline hazard functions, thus different models are implied.

See, for example, the Chapter "Survival Analysis" from Kleinbaum and Klein, 2012, Part of the series Statistics for Biology and Health.