Un pas étrange sur une preuve de la distribution des formes quadratiques

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Le théorème suivant provient de la 7ème édition de " Introduction to Mathematical Statistics " par Hogg, Craig et Mckean et il concerne la condition nécessaire et suffisante pour l'indépendance de deux formes quadratiques de variables normales.

Il s'agit d'un extrait assez long, mais ce que j'aimerais de l'aide, c'est seulement la transition de 9.9.6 à 9.9.7 . J'ai inclus les étapes précédentes juste pour donner l'image globale au cas où un résultat précédent serait implicitement utilisé. Pourriez-vous s'il vous plaît m'aider à comprendre alors pourquoi 9.9.6 et 9.9.7 sont des représentations équivalentes? J'ai essayé de dériver 9.9.7 par moi-même, mais toutes mes tentatives se sont soldées par de la frustration.

La preuve continue après ça mais je n'ai pas d'autres problèmes. Merci d'avance.

entrez la description de l'image ici

self-study mathematical-statistics quadratic-form

— JohnK
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(9.9.6) indique que multipliant ainsi gauche et droite par et , nous obtenons et Je ne vois aucune raison pour intérieur et

A B = {Γ_{11}^{'} Λ_{11}} Γ_{11} Γ_{21}^{'} {Λ_{22} Γ_{21}} = U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V

${\mathbf {AB}}=\{\mathbf{\Gamma_{11}'\Lambda_{11}}\}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}\{\mathbf{\Lambda_{22}\Gamma_{21}}\}={\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$

U^{'} A B V^{'} = U^{'} U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V V^{'}

$\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'=\mathbf{U}'{\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}\mathbf{V}'$

(U^{'} U)^{- 1} U^{'} A B V^{'} (V V^{'})^{- 1} = Γ_{11} Γ_{21}^{'}

$(\mathbf{U}'{\mathbf U})^{-1}\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'({\mathbf V}\mathbf{V}')^{-1}=\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$ disparaître donc je parierais sur une faute de frappe. Cependant, la conclusion reste la même, à savoir que si et seulement si

Γ_{11} Γ_{21}^{'} = 0

$\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}=0$

A B = 0

$\mathbf{{AB}}=0$

— Xi'an
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Oui, c'était ma pensée précisément, merci. J'ai regardé la liste des errata de ce livre mais ce n'est pas dessus donc je l'ai trouvé extrêmement déroutant.

— JohnK

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J'ai contacté l'auteur, le professeur Joseph W. McKean, qui a reconnu l'erreur et a très gentiment proposé la correction. Je le poste ici, au cas où quelqu'un d'autre étudiant seul en aurait besoin.

Après (9.9.6), écrivez:

Soit la matrice du premier ensemble d'accolades. Notez que a le rang de colonne complet, donc son noyau est nul; c'est-à-dire que son noyau est composé du vecteur . Soit la matrice dans le deuxième ensemble d'accolades. Notez que a un rang complet, donc le noyau de est nul. $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}^{\prime}$

Pour la preuve alors, supposons . alors $\mathbf{AB}=\mathbf{0}$

U [Γ_{11} Γ_{21}^{'} V] = 0

$\mathbf{U}\left[\mathbf{\Gamma}_{11}\mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}\mathbf{V}\right]=\mathbf{0}$

Étant donné que le noyau de est nul, cela implique que chaque colonne de la matrice entre crochets est . Cela implique que $\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$

V^{'} [Γ_{21} Γ_{11}] = 0

$\mathbf{V}^{\prime} \left[ \mathbf{\Gamma}_{21} \mathbf{\Gamma}_{11} \right]=\mathbf{0}$

De la même manière, comme le noyau de est nul, nous avons . D'où par ... $\mathbf{V}^{\prime}$ $\mathbf{\Gamma}_{11} \mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}=\mathbf{0}$ $\left(9.9.5 \right)$

(et la preuve continue pour l'autre sens)

— JohnK
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