La covariance des variables standardisées est-elle la corrélation?

J'ai une question basique. Dire que j'ai deux variables aléatoires, et . Je peux les standardiser en soustrayant la moyenne et en divisant par l'écart-type, c'est-à-dire . $X$ $Y$ $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

La corrélation de et , -elle la même que la covariance des versions standardisées de et ? Autrement dit, ? $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

— Jake Fisher
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Oui.

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \\ Cov (X_{standardized}, Y_{standardized}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0) \times (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$ Alors, oui!

— Hemant Rupani
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Quoi???? Le côté droit de votre première équation est une variable aléatoire tandis que le côté gauche est une constante.

— Dilip Sarwate

Euh non. La question porte sur la corrélation et la covariance de variables aléatoires tandis que votre réponse concerne la corrélation et la covariance de l' échantillon . Par exemple, le résultat demandé concerne les prises pour les variables aléatoires continues alors qu'au mieux ce que vous avez s'applique uniquement aux variables aléatoires discrètes prenant des valeurs avec une probabilité égale .

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

— Dilip Sarwate

Pas assez. Vous n'avez pas du tout besoin des indices , donc je suis allé de l'avant et les ai supprimés, et j'ai amélioré un peu la présentation. N'hésitez pas à revenir en arrière si vous n'aimez pas les changements.

i

$i$

— Dilip Sarwate du

Vous prenez SD (X) et SD (Y) hors de toute attente. Expliquez un peu plus le raisonnement de cette étape.

— Erdogan CEVHER

Les constantes @Erdogan peuvent être prises en dehors de la fonction Expected () sans modification.

— Hemant Rupani