Combinaison linéaire de deux non normaux aléatoires qui est toujours membre de la même famille

Il est bien connu qu'une combinaison linéaire de 2 variables normales aléatoires est également une variable normale aléatoire. Y a-t-il des familles de distribution non normales communes (par exemple, Weibull) qui partagent également cette propriété? Il semble y avoir de nombreux contre-exemples. Par exemple, une combinaison linéaire d'uniformes n'est généralement pas uniforme. En particulier, existe-t-il des familles de distribution non normales où les deux conditions suivantes sont vraies:

Une combinaison linéaire de deux variables aléatoires de cette famille équivaut à une certaine distribution dans cette famille.
Le ou les paramètres résultants peuvent être identifiés en fonction des paramètres d'origine et des constantes dans la combinaison linéaire.

Je suis particulièrement intéressé par cette combinaison linéaire:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

où et sont échantillonnés dans une famille non normale, avec les paramètres et , et provient de la même famille non normale avec le paramètre . $X_1$ $X_2$ $\theta_1$ $\theta_2$ $Y$ $\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

Je décris une famille de distribution avec 1 paramètre pour plus de simplicité, mais je suis ouvert aux familles de distribution avec plusieurs paramètres.

De plus, je cherche des exemples où il y a beaucoup d'espace de paramètres sur et pour travailler à des fins de simulation. Si vous ne pouvez trouver qu'un exemple qui fonctionne pour certains et très spécifiques , ce serait moins utile. $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

distributions linear

— Anthony
source

Merci. Je suis vraiment à la recherche de familles non normales communes (par exemple, Weibull). J'essaierai également de préciser que le ou les paramètres résultants doivent être des fonctions des paramètres d'origine pour une grande variété de paramètres d'origine. Autrement dit, il devrait y avoir beaucoup d'espace de paramètres pour travailler à des fins de simulation.

— Anthony

En supposant que nous parlons arbitraires combinaisons linéaires indépendantes variables aléatoires, il y a les () Lévy stables distributions . La classe entière de ces distributions est entièrement caractérisée par leur fonction caractéristique prenant une certaine forme. Seuls quelques privilégiés ont des densités avec des expressions de forme fermée connues.

— cardinal du

Les alpha-stables mentionnées par @cardinal sont une réponse, et si je comprends bien, la seule réponse si les paramètres doivent être l'emplacement et l'échelle, mais y a-t-il d'autres réponses si les paramètres n'ont pas besoin d'être emplacement + échelle? (Bien que ce soit peut-être si loin de ce que voulait OP, cela devrait être une question distincte).

— Juho Kokkala

Je suis intéressé par les réponses même si les paramètres ne sont pas l'emplacement et l'échelle.

— Anthony

@Juho Je crois que la réponse en général est oui. Les sommes des distributions correspondent aux sommes (ponctuelles) des fonctions génératrices de cumul (définies comme le logarithme de la fonction caractéristique), de sorte que la fermeture d'un ensemble de distributions sous sommation est naturellement contenue dans l'ensemble de toutes les distributions qui sont des combinaisons linéaires (réelles) de ces cgf.

— whuber

Réponses:

La distribution normale satisfait une belle identité de convolution: . Si vous faites référence au théorème de la limite centrale, alors par exemple, ces distributions gamma avec le même coefficient de forme partageraient cette propriété et se transformeraient en distributions gamma. Veuillez consulter une mise en garde concernant l'invocation du théorème de la limite centrale . En général, cependant, avec des coefficients de forme inégaux, les distributions gamma «s'ajouteraient» par une convolution qui ne serait pas une distribution gamma mais plutôt une fonction gamma multipliant une fonction hypergéométrique du premier type telle que trouvée dans l'équation. (2) de $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$ convolution de deux distributions gamma . L'autre définition de l'addition, c'est-à-dire la formation d'un mélange de distribution de processus non liés, ne présenterait pas nécessairement de limite centrale, par exemple, si les moyens sont différents.

Il y a probablement d'autres exemples, je n'ai pas fait de recherche exhaustive. La clôture de la convolution ne semble pas exagérée. Pour une combinaison linéaire, le produit de Pearson VII avec un Pearson VII est un autre Pearson VII .

— Carl
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Vous pouvez ajouter des variables aléatoires Gammas indépendantes avec le même paramètre d'échelle et obtenir un autre gamma avec ce même paramètre d'échelle, mais vous ne pouvez pas prendre de combinaisons linéaires arbitraires. Il existe un certain nombre de distributions bien connues pour lesquelles vous pouvez prendre des sommes mais pas des combinaisons linéaires arbitraires et rester dans cette famille. (Il y a déjà une réponse supprimée ici qui fait la même erreur)

— Glen_b -Reinstate Monica

Il est vrai que la convolution de deux distributions gamma , voir Eq. 2, donne autre chose qu'une distribution gamma, si c'est ce que vous voulez dire.

— Carl

L'article indique clairement qu'une combinaison linéaire de gammas n'est pas gamma (à l'exception de la même exception que j'ai déjà mentionnée) et semble tout à fait cohérente avec ce que j'ai dit. Je ne suis pas sûr de ce que vous me demandez, mais l'article confirme mon affirmation selon laquelle votre réponse semble affirmer quelque chose qui n'est pas le cas.

— Glen_b -Reinstate Monica

Ne pas demander, dire quelle est la somme en général. J'ai modifié la réponse pour dire «certains». Si cela ne suffit pas, je supprimerai ma modeste tentative d’aide. Et que je demande, "Assez bien, ou pas?"

— Carl

C'est maintenant un peu du côté léger pour une réponse. Vous voudrez peut-être déplacer certaines informations de votre commentaire vers la réponse (les informations relatives à ce qui était dans le document et le lien vers celui-ci, au moins, bien que

— j'inclue

Il est bien connu qu'une combinaison linéaire de 2 variables normales aléatoires est également une variable normale aléatoire. Y a-t-il des familles de distribution non normales communes (par exemple, Weibull) qui partagent également cette propriété?

J'ai l'impression que vous recherchez la classe des distributions stables de Levy . Il s'agit de la classe de toutes les distributions qui satisfont la propriété de stabilité: $\mathscr{P}$ $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

X_{1}, X_{2}, X_{3} \sim IID P ⟹ (\forall a) (\forall b) (\exists c > 0) (\exists d) : a X_{1} + b X_{2} \overset{Dist}{\sim} c X_{3} + d .

$X_1, X_2, X_3 \sim \text{IID } \mathcal{P} \quad \quad \implies \quad \quad (\forall a) (\forall b) (\exists c>0) (\exists d): \ aX_1 + bX_2 \overset{\text{Dist}}{\sim} c X_3 + d.$

En d'autres termes, pour chaque distribution de cette classe, si vous prenez une fonction linéaire de deux variables aléatoires indépendantes avec cette distribution, cela a la même distribution qu'une fonction affine d'une seule variable aléatoire avec cette distribution. (Notez que cette exigence de stabilité peut être resserrée en fixant , ce qui donne la sous-classe des distributions strictement stables .) $d=0$

Les distributions Levy-stables peuvent être considérées comme une famille de distributions à part entière, et en ce sens c'est la seule famille de distributions avec cette propriété de stabilité, car (par définition) elle englobe toutes les distributions avec cette propriété. La distribution normale appartient à la classe des distributions stables de Levy, tout comme la distribution de Cauchy , la distribution de Landau et la distribution de Holtsmark .

— Ben - Réintègre Monica
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