Quelle est la démonstration de la variance de la différence de deux variables dépendantes?

Je sais que la variance de la différence de deux variables indépendantes est la somme des variances, et je peux le prouver. Je veux savoir où va la covariance dans l'autre cas.

Quand $X$ et $Y$ sont des variables dépendantes avec covariance $\mathrm{Cov}[X,Y] = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$, alors la variance de leur différence est donnée par

$$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y] - 2 \mathrm{Cov}[X,Y]$$ Ceci est mentionné parmi les propriétés de base de la variance sur http://en.wikipedia.org/wiki/Variance . Si$X$ et $Y$ se trouvent être non corrélés (ce qui est a fortiori le cas lorsqu'ils sont indépendants), alors leur covariance est nulle et nous avons $$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y]$$

Laisser $X$ et $Y$être deux variables aléatoires. Nous voulons montrer que$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$.

Définissons $Z:=-Y$, donc nous avons: $Var[X-Y]=Var[X+Z]=Var[X]+Var[Z]+2\times Cov[X,Z]$.

$Var[Z] = Var[-Y] = Var[Y]$, depuis $Var[\alpha Y] = \alpha^2 Var[Y]\enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}.$

Nous avons aussi $Cov[X,Z] = Cov[X,-Y] = -Cov[X,Y]$, parce que $Cov(X,\beta Y) = \beta Cov(X,Y)\enspace \forall \beta \in \mathbb{R}$.

Rassemblant toutes les pièces, nous avons $Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$.