Limite supérieure sur où et

$X$ est une variable aléatoire discrète qui peut prendre des valeurs de . Puisque est une fonction convexe, nous pouvons utiliser l'inégalité de Jensen pour dériver une borne inférieure : Est-il possible de dériver une borne supérieure ? $(0,1)$ $\varphi(x)=1/x$

E [\frac{1}{1 - X}] \geq \frac{1}{1 - E [X]} = \frac{1}{1 - a}

$E\left[\frac{1}{1-X}\right]\ge \frac{1}{1-E[X]}=\frac{1}{1-a}$

probability expected-value bounds

— Mike
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Considérez ce qui se passe lorsque X a une limite supérieure qui s'approche de 1 par le bas. Considérons maintenant une distribution qui inclut 1 avec une densité non nulle. Considérons maintenant une distribution discrète, où 1 a une probabilité non nulle. Vous voudrez peut-être commencer par certaines restrictions

— Glen_b -Reinstate Monica

Une généralisation de cette question peut être appliquée à la variable aléatoire avec l'attente pour obtenir la réponse immédiatement: voir stats.stackexchange.com/questions/141766 . L'inégalité fournie est étroite: c'est-à-dire que la limite supérieure peut être atteinte. Il fournit une limite supérieure utile (non infinie) si le supremum de est inférieur à .

1 - X

$1-X$

1 - a

$1-a$

X

$X$

1

$1$

— whuber

Il n'y a pas de limite supérieure.

Intuitivement, si a un support substantiel le long d'une séquence approchant , alors pourrait avoir une attente divergente (arbitrairement grande). Pour montrer qu'il n'y a pas de limite supérieure, tout ce que nous avons à faire est de trouver une combinaison de support et de probabilités qui réalise l'attente souhaitée de . Ci - dessous construit explicitement un tel . $X$ $1$ $1/(1-X)$ $a$ $X$

Supposons (à choisir plus tard) et (également à choisir plus tard). Soit prendre les valeurs avec probabilités . alors $0 \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $X$

a_{n} = 1 - λ n^{- s}

$a_n = 1 - \lambda n^{-s}$

p_{n} = \frac{n^{- s}}{ζ (s)},

$p_n = \frac{n^{-s}}{\zeta(s)},$

n = 1, 2, \dots

$n = 1, 2, \ldots$

a = E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} a_{n} = \frac{1}{ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s} (1 - λ n^{- s}) = 1 - λ \frac{ζ (2 s)}{ζ (s)} .

$a = \mathbb{E}(X) = \sum_{n=1}^\infty p_n a_n = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\left(1 - \lambda n^{-s}\right) = 1 - \lambda \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$

La plage de est l'intervalle , comme l'indique ce graphique partiel: $f(s) = \zeta(2s)/\zeta(s)$ $(0,1)$

Figure du rapport zêta

En sélectionnant telle sorte que , choisissez pour lequel ; c'est-à-dire, . Cela construit un avec toutes les propriétés indiquées. $\lambda$ $1-a \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $f(s) = (1-a)/\lambda$ $a = 1 - \lambda f(s)$ $X$

Considérer

E (\frac{1}{1 - X}) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \frac{n^{s}}{λ} = \frac{1}{λ ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} 1.

$\mathbb{E}\left(\frac{1}{1-X}\right) = \sum_{n=1}^\infty p_n \frac{n^s}{\lambda} = \frac{1}{\lambda\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty 1.$

La somme diverge. Par conséquent, aucune limite supérieure n'est compatible avec les conditions énoncées.

— whuber
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