Comment calculer les erreurs-types pour les estimations du modèle à effets mixtes?

En particulier, comment calculer les erreurs-types des effets fixes dans un modèle linéaire à effets mixtes (au sens fréquentiste)?

J'ai été amené à croire que les estimations typiques ( ), telles que celles présentées dans Laird et Ware [1982] donneront aux SE que sont sous-estimés en taille parce que les composantes de la variance estimée sont traitées comme si elles étaient les vraies valeurs.${\rm Var}(\hat\beta)=(X'VX)^{-1}$

J'ai remarqué que les SE produits par les fonctions lmeet summarydans le nlmepaquetage pour R ne sont pas simplement égaux à la racine carrée des diagonales de la matrice de variance-covariance donnée ci-dessus. Comment sont-ils calculés?

J'ai également l'impression que les Bayésiens utilisent des a priori gamma inverses pour estimer les composantes de la variance. Ces résultats donnent-ils les mêmes résultats (dans le bon réglage) que lme?

Ma pensée initiale était que, pour la régression linéaire ordinaire, nous ajoutons simplement notre estimation de la variance résiduelle, , comme si c'était la vérité.$\sigma^2$

Cependant, jetez un coup d'œil à McCulloch et Searle (2001) Modèles généralisés, linéaires et mixtes, 1re édition , section 6.4b, «Variation d'échantillonnage». Ils indiquent que vous ne pouvez pas simplement brancher les estimations des composantes de la variance :

Au lieu de faire face à la variance (matrice) d'un vecteur on considère le simple cas du scalaire l ' β pour estimable l ' β (c. -à- l ' = t ' X pour certains t ' ).$X \hat{\beta}$$l' \hat{\beta}$$l'\beta$$l' = t'X$$t'$

Pour connu , on a de (6.21) que var ( l ′ β 0 ) = l ′ ( X ′ V - 1 X ) - l . Un remplacement pour cela lorsque V est pas connue consiste à utiliser l ' ( X ' V - 1 X ) - l , qui est une estimation du var ( l ' β 0 ) = var [ l $V$$\text{var}(l' \beta^0) = l'(X'V{-1}X)^- l$$V$$l'(X'\hat{V}^{-1}X)^- l$ . Mais il estpasune estimation du var ( l ' β ) = var [ l ' ( X ' V - 1 X ) - X ' V - 1 y ] . Ce dernier exigeprisecompte de la variabilité de V ainsi que dans$\text{var}(l'\beta^0) = \text{var}[l' (X' V^{-1} X)^- X' V^{-1} y]$$\text{var}(l'\hat{\beta}) = \text{var}[l' (X' \hat{V}^{-1} X)^- X' \hat{V}^{-1} y]$$\hat{V}$ . Pour faire face à cela, Kackar et Harville (. 1984, p 854) observent que (dans notre notation) l ' β - l ' β peut être exprimée comme la somme de deux parties indépendantes, l ' β - l ' β 0 et l ′ β 0 - l ′ β . Cela conduit à var ( l ' ß ) étant exprimés comme une somme de deux variances que nous écrivons$y$$l' \hat{\beta} - l' \beta$$l' \hat{\beta} - l' \beta^0$$l'\beta^0 - l' \beta$$\text{var}(l' \hat{\beta})$

$$\text{var}(l'\hat{\beta}) = ... \approx l'(X' V^{-1} X)l + l' T \; l$$

$T$

Cela répond donc à la première partie de votre question et indique que votre intuition était correcte (et la mienne était fausse).