Attente sur les produits d'ordre supérieur de distributions normales

J'ai deux variables et normalement distribuées avec un zéro moyen et une matrice de covariance . Je souhaite essayer de calculer la valeur de en fonction des entrées de . $X_1$ $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

J'ai utilisé la loi de probabilité totale pour obtenir mais je ne sais pas à quoi l'attente intérieure se réduit. Y a-t-il une autre méthode ici? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Merci.

Edit: Les variables sont également multivariées normalement distribuées.

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
source

bénéficient d' une bivariée distribution normale aussi? (Le simple fait de dire que

sont normaux avec la matrice de covariance

ne suffit pas pour conclure que la distribution conjointe est normale bivariée).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— Dilip Sarwate

Pour l'application spécifique que j'ai en tête,

ont une distribution normale bivariée, selon le théorème de la limite centrale multivariée. J'ai oublié de le mentionner dans mon message d'origine.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— AGK

@AGK si vous souhaitez clarifier votre message, il existe un bouton "modifier" qui vous permet d'apporter des modifications. C'est mieux pour les futurs lecteurs qui n'auront alors pas à rechercher les informations clés dans les commentaires sous la question.

— Silverfish

$\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

En supposant une normalité bivariée, alors selon l'analyse à https://stats.stackexchange.com/a/71303, nous pouvons changer les variables en

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

$(X,Y)$

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

$c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

$X$ $Y$

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

$\sigma_{11}\sigma_{22}$

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

$(X_1,X_2)$ $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

$k\ge 0$

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(avec toutes les autres attentes de monômes égales à zéro). Ceci est proportionnel à une fonction hypergéométrique (presque par définition: les manipulations impliquées ne sont ni profondes ni instructives),

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

$\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$

— whuber
source

Merci pour la réponse détaillée! Je pense également à des questions connexes avec d'autres polynômes, c'est donc un cadre vraiment utile. C'est une transformation très intelligente que je n'avais jamais vue auparavant. Cool!

— AGK

Pour vous aider dans votre enquête, j'ai fourni les détails des polynômes généraux. J'ai été amusé, lors de la rédaction de cette réponse, de réaliser que j'ai appris cette transformation dans le manuel de statistiques élémentaires de Friedman, Pisani et Purves: nous enseignons cela aux étudiants de première année!

— whuber