Écart absolu médian (MAD) et écart-type de différentes distributions

Pour les données normalement distribuées, l'écart type $\sigma$ et l'écart médian absolu $\text{MAD}$ sont liés par:

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

où $\Phi()$ est la fonction de distribution cumulative pour la distribution normale standard.

Existe-t-il une relation similaire pour les autres distributions?

distributions standard-deviation mad

— vic
source

Quelle distribution pensiez-vous?

— gung - Réintègre Monica

Pas de distribution spécifique. Je viens de rencontrer des ensembles de données étranges, et je voudrais savoir s'il existe une plage possible de valeurs de la constante ...

— vic

Oui, pour de nombreuses distributions - mais les chiffres sont différents.

— Glen_b -Reinstate Monica

Si vous voulez connaître la plage de valeurs possible qui pourrait convertir MAD en SD, pourquoi ne pas le poser dans la question?

— Glen_b -Reinstate Monica

Veuillez expliquer ce qu'est le «MAD»: il a plus d'une signification conventionnelle! (Et les deux donnent les mêmes valeurs pour les distributions normales.)

— whuber

Réponses:

Pour répondre à la question dans les commentaires:

Je voudrais savoir s'il existe une plage possible de valeurs de la constante

(Je suppose que la question porte sur l'écart médian par rapport à la médiane.)

Le rapport SD / MAD peut être arbitrairement élevé.

Prenez une distribution avec un rapport donné de SD à MAD. Maintenez le milieu de la distribution fixe (ce qui signifie que MAD est inchangé). Déplacez les queues plus loin. SD augmente. Continuez à le déplacer au-delà d'une limite finie donnée. $50\%+\epsilon$
Le rapport de SD à MAD peut facilement être fait aussi près de comme souhaité en plaçant (par exemple)àetà 0. $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $25\%+\epsilon$ $\pm 1$ $50\%-2\epsilon$

Je pense que ce serait aussi petit que ça.

entrez la description de l'image ici

— Glen_b -Reinstate Monica
source

Votre interprétation de «MAD» est-elle l' écart absolu médian par rapport à la moyenne ou à la médiane (qui est souvent utilisé et est explicitement l'interprétation dans la réponse de Xi'an)?

— whuber

@whuber - il est important d'être clair, merci. Je l'interprète à partir de la médiane, comme Xi'an l'a fait. (Ai-je fait une erreur quelque part?)

— Glen_b -Reinstate Monica

Je n'ai vu aucune erreur - il n'était tout simplement pas clair, ni dans la question ni dans votre réponse, quelle interprétation était prévue (bien qu'avec certaines analyses, un lecteur pourrait déterminer celle que vous utilisez). Je me souviens d'avoir vu une question sur l'interprétation de l'écart par rapport à la moyenne il y a seulement quelques semaines.

— whuber

$f(x;\theta)$ $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ $G_\theta$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ $F_\theta$ $X$

$\theta=\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$
Dans les cas où $\theta=(\mu,\sigma)$ $\mu$ $f (x; θ) = g ({x - μ} / σ) / σ$ $f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$ $\mu$ $G_\theta$ $\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$

— Xi'an
source