Comment trouve-t-on la moyenne d'une somme de variables dépendantes?

Je sais que la moyenne de la somme des variables indépendantes est la somme des moyennes de chaque variable indépendante. Cela s'applique-t-il également aux variables dépendantes?

L'attente (en prenant la moyenne) est un opérateur linéaire .

Cela signifie , entre autres, que $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$ (pour lesquelles les attentes existent), qu'elles soient indépendantes ou non.

Nous pouvons généraliser (par exemple par induction ) de sorte que $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ tant que chaque attente $\mathbb{E}(X_i)$ existe.

Alors oui, la moyenne de la somme est la même que la somme de la moyenne même si les variables sont dépendantes. Mais notez que cela ne s'applique pas à la variance! Ainsi, alors que $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ pour les variables indépendantes, ou même les variables qui sont dépendantes mais non corrélées , la formule générale est $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ où$\mathrm{Cov}$ est lacovariancedes variables.

TL; DR:
En supposant qu'elle existe, la moyenne est une valeur attendue, et la valeur attendue est une intégrale, et les intégrales ont la propriété de linéarité par rapport aux sommes.

TS; DR:
Puisque nous avons affaire à la somme des variables aléatoires , c'est-à-dire d'une fonction de beaucoup d'entre elles, la moyenne de la somme E ( Y n ) est par rapport à leur distribution conjointe ( on suppose que tous les moyens existent et sont finies) désignant X le vecteur multivariée de la n VR, leur densité joint peut être écrit sous la forme f X ( x ) = f X 1 , . . . , $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$et leur soutien commun D=S X 1 ×. . . ×S X n En utilisant laloi du statisticien inconscient, nous avons l'intégralemultiple$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

.

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

Dans certaines conditions de régularité, nous pouvons décomposer l'intégrale multiple en une intégrale itérative:$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

et en utilisant la linéarité des intégrales, nous pouvons nous décomposer en

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

Pour chaque intégrale itérative, nous pouvons réorganiser l'ordre d'intégration de sorte que, dans chacune, l'intégration externe soit par rapport à la variable qui est en dehors de la densité de joint. À savoir,$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

et en général

= ∫ S

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

Comme nous calculons une par une l'intégrale dans chaque intégrale itérative (à partir de l'intérieur), nous «intégrons» une variable et nous obtenons à chaque étape la distribution «conjointe-marginale» des autres variables. Chaque intégrale n- itérative finira donc par ∫ S X j x j f X j ( x j ) d x j .$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

Rassemblant tout cela, nous arrivons à

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

Mais maintenant, chaque intégrale simple est la valeur attendue de chaque variable aléatoire séparément, donc

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

Notez que nous n'avons jamais invoqué l'indépendance ou la non-indépendance des variables aléatoires impliquées, mais nous avons travaillé uniquement avec leur distribution conjointe.