Montrer que si

Actuellement coincé là-dessus, je sais que je devrais probablement utiliser l'écart moyen de la distribution binomiale mais je ne peux pas le comprendre.

— thyde
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Salut, bienvenue sur CV. Bien que des questions comme celle-ci soient les bienvenues, nous les traitons différemment - si vous mettez plus d'informations dans votre question, vous pouvez obtenir des conseils et des conseils. Veuillez consulter le paragraphe correspondant dans sa page d'aide et les directives du self-study wiki wiki . Veuillez ajouter la self-studybalise et modifier votre question comme suggéré (c'est-à-dire montrer ce que vous avez essayé, ou au moins expliquer ce que vous savez sur les attentes et les binômes) et identifier où se trouvent vos difficultés.

— Glen_b -Reinstate Monica

vous pourriez également regarder l'inégalité de

— jensen

@ seanv507 certainement, si nous utilisons l'inégalité de Jensen, cela le fait en une seule étape, et si thyde l'a couvert c'est tout ce qui serait nécessaire, mais dans ce cas il y a une preuve vraiment élémentaire qui est bien à la portée des étudiants qui ne connaissent que certains propriétés très basiques de l'attente et de la variance.

— Glen_b -Reinstate Monica

qui devient

, puis en résolvant on obtient:

. Est-ce correct?

E [Y^{2}] = V a r [Y] + E [Y]^{2}

$E[Y^2] = Var[Y] + E[Y]^2$

V a r [X] + (E [X] - n p)^{2}

$Var[X] + (E[X] - np)^2$

n p q + (n p - n p)^{2} = n p q

$npq + (np - np)^2 = npq$

— thyde

Je pense que vous vous confondez avec Var. utilisez simplement E. vous devez montrer que

E | X - n p | \leq \sqrt{E [| X - n p |^{2}]}

$E|X-np|\le \sqrt{E[|X-np|^2]}$

— seanv507

Pour que le fil de commentaire n'explose pas, je recueille mes indices vers une preuve complètement élémentaire (vous pouvez le faire plus court que cela mais j'espère que cela rend chaque étape intuitive). J'ai supprimé la plupart de mes commentaires (ce qui laisse malheureusement les commentaires un peu décousus).

Soit . Remarque . Montrer . Si vous connaissez déjà , vous pouvez simplement indiquer , car le décalage d'une constante n'a aucune incidence sur la variance. $Y=X-np$ $E(Y)=0$ $\text{Var}(Y)=npq$ $\text{Var}(X)$ $\text{Var}(Y)$
Soit . Écrivez une inégalité évidente dans , développez et utilisez le résultat précédent. [Vous voudrez peut-être légèrement réorganiser cela en une preuve claire, mais j'essaie de motiver la façon d'arriver à une preuve, pas seulement la preuve finale.] $Z=|Y|$ $\text{Var}(Z)$ $\text{Var}(Z)$

C'est tout ce qu'on peut en dire. Il s'agit de 3 ou 4 lignes simples, n'utilisant rien de plus compliqué que les propriétés de base de la variance et de l'attente (la seule façon dont le binôme entre en jeu est de donner la forme spécifique de et - vous pouvez prouver la cas général où l'écart moyen est toujours tout aussi facilement). $E(X)$ $\text{Var}(X)$ $\leq \sigma$

[Alternativement, si vous connaissez l'inégalité de Jensen, vous pouvez le faire un peu plus brièvement.]

Maintenant qu'un certain temps s'est écoulé, je vais décrire un peu plus en détail comment l'aborder:

$Z=|X-nq|$ $\text{Var}(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2$ $E(Z^2)=E[(X-nq)^2]$

Notez que les écarts doivent être positifs. Le résultat suit.

— Glen_b -Reinstate Monica
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