Génération d'échantillons aléatoires à partir d'une distribution personnalisée

J'essaie de générer des échantillons aléatoires à partir d'un pdf personnalisé à l'aide de R. Mon pdf est:

f_{X} (x) = \frac{3}{2} (1 - x^{2}), 0 \leq x \leq 1

$f_{X}(x) = \frac{3}{2} (1-x^2), 0 \le x \le 1$

J'ai généré des échantillons uniformes, puis j'ai essayé de le transformer en ma distribution personnalisée. J'ai fait cela en trouvant le cdf de ma distribution ( ) et en le réglant sur l'échantillon uniforme ( ) et en résolvant pour . $F_{X}(x)$ $u$ $x$

F_{X} (x) = Pr [X \leq x] = \int_{0}^{x} \frac{3}{2} (1 - y^{2}) d y = \frac{3}{2} (x - \frac{x^{3}}{3})

$F_{X}(x) = \Pr[X \le x] = \int_{0}^{x} \frac{3}{2} (1-y^2) dy = \frac{3}{2} (x - \frac{x^3}{3})$

Pour générer un échantillon aléatoire avec la distribution ci-dessus, obtenez un échantillon uniforme et résolvez pour en $u \in[0,1]$ $x$

\frac{3}{2} (x - \frac{x^{3}}{3}) = u

$\frac{3}{2} (x - \frac{x^3}{3}) = u$

Je l'ai implémenté dans Ret je n'obtiens pas la distribution attendue. Quelqu'un peut-il signaler la faille dans ma compréhension?

nsamples <- 1000;
x <- runif(nsamples);

f <- function(x, u) { 
  return(3/2*(x-x^3/3) - u);
}

z <- c();
for (i in 1:nsamples) {
  # find the root within (0,1) 
  r <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root;
  z <- c(z, r);
}

r sampling uniform

— Anand
source

Doit être une erreur de codage. Je n'utilise pas R, donc je ne peux pas dire exactement quelle est l'erreur - mais je viens de coder votre solution (en prenant soin de prendre la racine centrale du polynôme cubique, qui se situe toujours entre 0 et 1), et J'obtiens un bon accord entre les échantillons et la distribution attendue. Serait-ce un problème avec votre root finder? Quel est le problème avec les échantillons que vous obtenez?

— jpillow

J'ai essayé votre code (qui n'est pas très efficace d'ailleurs) et j'obtiens la distribution attendue.

— Aniko

@jpillow et @Aniko Mon erreur. Quand je l'ai utilisé, nsamples <- 1e6c'était un bon match.

— Anand

x = 2 \sin (\arcsin (u) / 3)

$x = 2\sin(\arcsin(u)/3)$

x

$x$

u

$u$

@Anand en.wikipedia.org/wiki/…

— whuber

Il semble que vous ayez compris que votre code fonctionne, mais @Aniko a souligné que vous pouviez améliorer son efficacité. Votre gain de vitesse le plus important proviendrait probablement de la pré-allocation de mémoire pour zque vous ne la développiez pas dans une boucle. Quelque chose comme z <- rep(NA, nsamples)ça devrait faire l'affaire. Vous pouvez obtenir un petit gain de vitesse en utilisant vapply()(qui spécifie le type de variable renvoyé) au lieu d'une boucle explicite (il y a une grande question SO sur la famille apply).

> nsamples <- 1E5
> x <- runif(nsamples)
> f <- function(x, u) 1.5 * (x - (x^3) / 3) - u
> z <- c()
> 
> # original version
> system.time({
+ for (i in 1:nsamples) {
+   # find the root within (0,1) 
+   r <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root
+   z <- c(z, r)
+ }
+ })
   user  system elapsed 
  49.88    0.00   50.54 
> 
> # original version with pre-allocation
> z.pre <- rep(NA, nsamples)
> system.time({
+ for (i in 1:nsamples) {
+   # find the root within (0,1) 
+   z.pre[i] <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root
+   }
+ })
   user  system elapsed 
   7.55    0.01    7.78 
> 
> 
> 
> # my version with sapply
> my.uniroot <- function(x) uniroot(f, c(0, 1), tol = 0.0001, u = x)$root
> system.time({
+   r <- vapply(x, my.uniroot, numeric(1))
+ })
   user  system elapsed 
   6.61    0.02    6.74 
> 
> # same results
> head(z)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738
> head(z.pre)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738
> head(r)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738

Et vous n'avez pas besoin du ;à la fin de chaque ligne (êtes-vous un converti MATLAB?).

— Richard Herron
source

Merci pour votre réponse détaillée et pour avoir souligné vapply. J'encode C/C++depuis très longtemps et c'est la raison de l' ;affliction!

— Anand

+1 Il semble que le remplacement unirootpar une solution directe accélère les choses de trois ordres de grandeur supplémentaires: vous ne devriez avoir aucun problème à vous déplacer

10^{7}

$10^7$ varie par seconde.

— whuber