Pourquoi les cours des actions sont lognormaux mais les retours sur actions sont normaux

Excepté le fait que les rendements peuvent être négatifs alors que les prix doivent être positifs, y a-t-il une autre raison derrière la modélisation des prix des actions comme une distribution logarithmique normale mais la modélisation des rendements des actions comme une distribution normale?

normal-distribution lognormal finance

— Victor
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Aucune des affirmations du titre n'est en réalité vraie. Vous devez définir des retours dans votre question (j'ai vu deux définitions légèrement différentes, et il importe de savoir comment

— formuler

Rendements quotidiens ... comme dans ... la différence entre le jour d'ouverture et la fermeture du jour exprimée en% de l'ouverture.

— Victor

Vous pouvez trouver des informations mises à jour sur les distributions de rendements boursiers sur une vidéo de 3 minutes publiée ici: indiegogo.com/projects/fat-tails-mathematics/x/17297122#

— Anton Nefedov

L'existence d'une réponse très appréciée et acceptée implique que ce Q est suffisamment clair pour être répondu. Je vote pour laisser ouvert.

— gung - Rétablir Monica

Quelques points pour commencer:

i) ces conventions de distribution sont au mieux des approximations. Ils peuvent être des modèles pratiques, mais nous ne devons pas les confondre avec la distribution réelle des cours des actions ou des retours.

$y_t$ $t$ $y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$ $y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

$x$ $\log(1+x)\approx x$

$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Autrement dit, le retour correspond approximativement à la variation du prix du stock de journaux (essayez-le avec les prix réels des actions et voyez qu'ils sont presque identiques).

Donc si

y_{t} \dot{\sim} Journal N (Journal (y_{t - 1}) + μ_{du quotidien}, σ_{du quotidien}^{2})

$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

ce qui implique

Journal (y_{t}) \dot{\sim} N (Journal (y_{t - 1}) + μ_{du quotidien}, σ_{du quotidien}^{2})

$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

ensuite

\frac{y_{t} - y_{t - 1}}{y_{t - 1}} \approx Journal (y_{t}) - Journal (y_{t - 1}) \dot{\sim} N (μ_{du quotidien}, σ_{du quotidien}^{2})

$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

— Glen_b -Reinstate Monica
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Comme mentionné, pour les retours à court terme, vous pouvez le confondre avec une distribution normale. Je l'ai illustré dans un article sur mon blog.

— Jan Rothkegel