Intuition pour des moments sur la moyenne d'une distribution?

Quelqu'un peut-il fournir une intuition sur la raison pour laquelle les moments supérieurs d'une distribution de probabilité $p_X$ , comme les troisième et quatrième moments, correspondent respectivement à l'asymétrie et au kurtosis? Plus précisément, pourquoi l'écart par rapport à la moyenne élevée au troisième ou au quatrième pouvoir se traduit-il par une mesure d'asymétrie et de kurtosis? Existe-t-il un moyen de relier cela aux dérivées troisième ou quatrième de la fonction?

Considérez cette définition de l'asymétrie et du kurtosis:

\begin{matrix} Skewness (X) = E [(X - μ_{X})^{3}] / σ^{3}, \\ Kurtosis (X) = E [(X - μ_{X})^{4}] / σ^{4} . \end{matrix}

$\begin{matrix} \text{Skewness}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^3] / \sigma^3, \\[6pt] \text{Kurtosis}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^4] / \sigma^4. \\[6pt] \end{matrix}$

Dans ces équations, nous élevons la valeur normalisée $(X-\mu)/\sigma$ à une puissance et prenons sa valeur attendue. Il n'est pas clair pour moi pourquoi élever la variable aléatoire normalisée à la puissance de quatre donne un "pic" ou pourquoi élever la variable aléatoire normalisée à la puissance de trois devrait donner une "asymétrie". Cela semble magique et mystérieux!

— user248237
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Mon intuition sur le biais est de noter que le troisième pouvoir préserve les négatifs. Donc, si vous avez des écarts négatifs plus importants par rapport à la moyenne que vous n'en avez (en termes très simples), vous vous retrouvez avec une distribution asymétrique négative. Mon intuition pour le kurtosis est que la quatrième puissance amplifie beaucoup plus les écarts importants par rapport à la moyenne que la deuxième puissance. C'est pourquoi nous considérons le kurtosis comme une mesure de la graisse des queues d'une distribution. Notez que de très grandes possibilités de x à partir du mu moyen sont augmentées à la quatrième puissance, ce qui les rend amplifiées mais ignore le signe.

— wolfsatthedoor

Voir stats.stackexchange.com/questions/84158/…

— whuber

Étant donné que les 4èmes pouvoirs sont beaucoup plus affectés par les valeurs aberrantes que les 1ers pouvoirs, je m'attends à ce que vous gagniez peu en regardant le quatrième moment sur la médiane - du moins si la robustesse était le but.

— Glen_b -Reinstate Monica

Tout d'abord, notez que ces moments plus élevés ne sont pas nécessairement des mesures bonnes / fiables d'asymétrie / de pointe. Cela dit, je pense que les poutres donnent une bonne intuition physique pour les trois premiers moments, par exemple moyenne = équilibre / échelle du faisceau , variance = flexion en porte-à-faux , asymétrie = bascule .

— GeoMatt22

Vous avez raison, l'interprétation de la kurtosis comme mesure du "pic" est magique et mystérieuse. C'est parce que ce n'est pas vrai du tout. Kurtosis ne vous dit absolument rien sur le sommet. Il mesure uniquement les queues (valeurs aberrantes). Il est facile de prouver mathématiquement que les observations près du pic contribuent de façon infime à la mesure de kurtosis, que le pic soit plat, à pointes, bimodal, sinusoïdal ou en forme de cloche.

— Peter Westfall

Réponses:

$n$ $^\dagger$

ϕ_{n} = E [(\frac{X - E [X]}{S [X]})^{n}] .

$\phi_n = \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg( \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg)^n \text{ } \Bigg].$

$\phi_1=0$ $\phi_2=1$ $n \geqslant 3$

\begin{aligned} ϕ_{n}^{+} & = E [| \frac{X - E [X]}{S [X]} |^{n} | X > E [X]] \cdot P (X > E [X]), \\ ϕ_{n}^{-} & = E [| \frac{X - E [X]}{S [X]} |^{n} | X < E [X]] \cdot P (X < E [X]) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \phi_n^+ &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X > \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X > \mathbb{E}[X]), \\[8pt] \phi_n^- &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X < \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X < \mathbb{E}[X]). \end{aligned} \end{equation}$

$n$

$n$ $n \geqslant 3$ $\phi_n = \phi_n^+ - \phi_n^-$ $n$

$n \geqslant 3$

$n \geqslant 3$ $\phi_3$

$n$ $n \geqslant 3$ $\phi_n = \phi_n^+ + \phi_n^-$ $n$

$n \geqslant 3$

$n \geqslant 3$ $\phi_4$

$^\dagger$

— Ben - Réintègre Monica
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Question similaire Qu'y a-t-il donc de «moment» à propos des «moments» d'une distribution de probabilité? J'ai donné une réponse physique à celle qui s'adressait aux moments.

$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$ $\theta$

Voir le lien car il est peut-être plus facile de visualiser cela avec des exemples physiques.

L'asymétrie est plus facile à comprendre que le kurtosis. Une asymétrie négative est une queue gauche plus lourde (ou une autre direction négative aberrante) qu'à droite et une asymétrie positive à l'opposé.

$x$

— Carl
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Z^{3}

$Z^3$

Z^{4}

$Z^4$

Z^{3}

$Z^3$

Z^{4}

$Z^4$

@PeterWestfall Je suis d'accord que l'interprétation des Maures est imparfaite. Un langage précis n'est pas facilement réalisable sans être source de confusion. Prenons par exemple «l'effet de levier». L'effet de levier signifie le premier moment et il faudrait inventer quelque chose comme «effet de levier» pour le deuxième instant, ce qui pourrait confondre plus qu'éclairer. Votre approche semble inventer un nouveau concept, c'est-à-dire «l'effet de levier étendu», qui fait allusion à des transformations géométriques pour lesquelles on pourrait également prétendre que certains défenseurs la favorisent comme auto-cohérente au risque d'être également controversée et non physique pour d'autres .

— Carl

U

$U$

U = Z^{4}

$U = Z^4$

Z^{4}

$Z^4$

Z

$Z$

Z^{2}

$Z^2$