Quel est le sens de

J'ai du mal à bien comprendre certaines notations dans un livre où ils utilisent un symbole "en forme de croix" - d'abord comme $\bigoplus\limits_{i=1}^n{} Z_j$ où le $Z_j$ sont des matrices et secondes comme $I_n \otimes \Phi$ où $I_n$ et $\Phi$ sont les deux matrices.

Le livre porte sur les statistiques multivariées et la section sur les modèles à coefficient aléatoire. Il n'y a pas d'annexe de notation / terminologie à laquelle se référer. J'allais poster une photo numérique de la page pour que les utilisateurs puissent voir le contexte (c'est au début de la section).

Alors, est-ce sur le sujet ici ou devrais-je poster sur math.se?

Mise à jour: j'ai initialement publié ceci sur meta.se et il a été migré ici. Je joins maintenant la photo de la page pertinente du livre. entrez la description de l'image ici

mathematical-statistics mixed-model notation

— Joe King
source

\oplus

$\oplus$ , Somme directe ;

\otimes

$\otimes$ , Produit tenseur .

— whuber

@whuber merci! C'est exactement ce dont j'avais besoin. Vouliez-vous en faire une réponse pour que je puisse l'accepter?

— Joe King

Je suis trop occupé maintenant, Joe - une vraie réponse expliquerait ce que sont ces choses, plutôt que d'avoir recours à des liens. Si quelqu'un veut bien fournir les détails dans une réponse, je serais ravi de voter, mais en attendant, je suis heureux que vous puissiez poursuivre votre lecture.

— whuber

@whuber OK je vais télécharger l'image numérique que j'ai mentionnée pour donner plus de contexte

— Joe King

En statistiques,

A \oplus B := [\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array}]

$A\oplus B:=\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B \end{array} \right]$ et (par exemple pour un

2 \times 2

$2\times 2$ -matrice

A

$A$ )

A \otimes B := [\begin{array}{cc} a_{11} B & a_{12} B \\ a_{21} B & a_{22} B \end{array}] .

$A\otimes B:=\left[\begin{array}{cc}a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{array} \right].$

Cela se concentre sur les matrices pour leur utilisation en statistique comme matrices de conception ou d'hypothèse, etc., où ces notations simplifient la structure de blocs fréquente de ces matrices. On peut trouver le nom Kronecker sum pour $\oplus$ et produit Kronecker pour $\otimes$ , notamment dans les manuels des logiciels statistiques. (La multiplication matricielle des composants est également très pratique $A\#B=[a_{ij}b_{ij}]_{i,j}$ pour des matrices de même forme. On l'appelle parfois produit Hadamard.)

En mathématiques, $\oplus$ et $\otimes$ ont leur signification typique légèrement différente comme somme directe ou produit tensoriel d'espaces vectoriels ou de structures algébriques encore plus générales.

— Horst Grünbusch
source

La signification statistique est identique à la signification mathématique de la somme directe et du produit tensoriel des transformations linéaires : ces formules résultent de l'écriture des transformations sous forme de matrices dans une base particulière.

— whuber

Le théorème soutient que l'ensemble des

n \times m

$n\times m$ -matrices est isomorphe à l'ensemble des transformations linéaires d'un

m

$m$ dimensionnelle à un

n

$n$ espace vectoriel dimensionnel. Donc, dans le monde de l'espace vectoriel, vous avez raison. Mais une somme directe existe aussi entre des structures comme des groupes. En statistique, ce dernier n'est généralement pas voulu.

— Horst Grünbusch

@whuber lorsque j'ai recherché ceci pour la première fois, je suis tombé sur [this] ( math.stackexchange.com/questions/207635/… ) ce qui m'a un peu dérouté et m'a incité à poser la question sur CV. Ce lien montre-t-il réellement le même usage, parce que l'anser accepté dit qu'il s'agit d'un "ajout non porteur"?

— Joe King

@ HorstGrünbusch Je voulais juste vous alerter sur le commentaire que je viens de faire au-dessus de l'orteil - aussi, si vous pouviez mettre à jour votre réponse pour refléter ce que les significations sont appelées dans les statistiques, je serais heureux de l'accepter.

— Joe King

Je ne suis jamais tombé sur cette signification particulière de

\oplus

$\oplus$ et je ne sais même pas si la réponse acceptée est juste. Mais je suis sûr que ce n'est pas la somme de Kronecker de l'arithmétique matricielle.

— Horst Grünbusch