Une preuve de la stationnarité d'un AR (2)


17

Considérons un processus AR (2) centré sur la moyenne

Xt=ϕ1Xt1+ϕ2Xt2+ϵt
où est le processus de bruit blanc standard. Par souci de simplicité, permettez-moi d'appeler et . En me concentrant sur les racines de l'équation des caractéristiques, j'ai obtenu Les conditions classiques dans les manuels sont les suivantes:ϵtϕ1=bϕ2=a
z1,2=b±b2+4a2a
{|a|<1a±b<1
J'ai essayé de résoudre manuellement (avec l'aide de Mathematica) les inégalités sur les racines, c'est-à-dire le système obtenant juste La troisième condition ( ) peut-elle être récupérée en ajoutant les deux solutions précédentes l'une à l'autre obtenant qui, par quelques considérations de signe, devient ? Ou est-ce que je manque une solution?
{|bb2+4a2a|>1|b+b2+4a2a|>1
a±b<1
|a|<1a+b+ab<2a<1|a|<1

Réponses:


18

Je suppose que l'équation caractéristique dont vous partez est différente de la mienne. Permettez-moi de procéder en quelques étapes pour voir si nous sommes d'accord.

Considérons l'équation

λ2ϕ1λϕ2=0

Si z est une racine de l'équation caractéristique "standard" 1ϕ1zϕ2z2=0 et en réglant z1=λ , l'affichage obtient en réécrivant la norme comme suit:

1ϕ1zϕ2z2=0z2ϕ1z1ϕ2=0λ2ϕ1λϕ2=0
Par conséquent, une condition alternative pour la stabilité d'unAR(2)est que toutes les racines du premier affichage se trouventàl'intérieurdu cercle unitaire,|z|>1|λ|=|z1|<1.

Nous utilisons cette représentation pour dériver le triangle de stationnarité d'un processus AR(2) , c'est-à-dire qu'un AR(2) est stable si les trois conditions suivantes sont remplies:

  1. ϕ2<1+ϕ1
  2. ϕ2<1ϕ1
  3. ϕ2>1

Rappelez-vous que vous pouvez écrire les racines du premier affichage (si elles sont réelles) sous la forme

λ1,2=ϕ1±ϕ12+4ϕ22
pour trouver les deux premières conditions.

Alors, AR(2) est stationnaire ssi |λ|<1 , donc (si les λi sont réels):

1<ϕ1±ϕ12+4ϕ22<12<ϕ1±ϕ12+4ϕ2<2
Le plus grand des deuxλiest délimité parϕ1+ϕ12+4ϕ2<2, ou:
ϕ1+ϕ12+4ϕ2<2ϕ12+4ϕ2<2ϕ1ϕ12+4ϕ2<(2ϕ1)2ϕ12+4ϕ2<44ϕ1+ϕ12ϕ2<1ϕ1
De façon analogue, nous constatons queϕ2<1+ϕ1.

Si λi est complexe, alors ϕ12<4ϕ2 et si

λ1,2=ϕ1/2±i(ϕ12+4ϕ2)/2.
λ2=(ϕ1/2)2+((ϕ12+4ϕ2)/2)2=ϕ12/4(ϕ12+4ϕ2)/4=ϕ2.
|λ|<1ϕ2<1ϕ2>1ϕ2<1 resulting from ϕ22<1 is redundant in view of ϕ2<1+ϕ1 and ϕ2<1ϕ1.)

Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get

enter image description here

Produced in R using

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

this is a very detailed explanation.
Marco

@Christoph: Is there a typo in the answer? Look at equation for λ2. Also, what do you mean by square of a complex number? If z=a+bi then z2=a2b2+2iab. How do you say square of a complex number is "square of the real plus the square of the imaginary part"
shani

1
Thanks, quite right! I was referring to the sqaured modulus, see the edit.
Christoph Hanck

@ChristophHanck, what is your take on Aksakal's answers in these two threads: 1 and 2? Are they in conflict with your answer, and if so, what is the correct answer?
Richard Hardy

I think he is quite right when defining weak stationarity as constancy of the first two moments. Often, and also in the present thread, "stationarity" and "existence of a causal representation", i.e., a summable MA() representation without dependence on the future, are conflated. What my answer therefore more precisely shows is conditions for the existence of the latter.
Christoph Hanck
En utilisant notre site, vous reconnaissez avoir lu et compris notre politique liée aux cookies et notre politique de confidentialité.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.