Exemple d'un estimateur du maximum de vraisemblance incohérent

Je lis un commentaire dans un article, et l'auteur déclare que parfois, même si les estimateurs (trouvés par ML ou quasi-vraisemblance maximale) peuvent ne pas être cohérents, la puissance d'un rapport de vraisemblance ou d'un test de rapport de quasi-vraisemblance peut toujours converger vers 1 car le nombre de données observées tend vers l'infini (cohérence des tests). Comment et quand cela se produit-il? Connaissez-vous une bibliographie?

[Je pense que cela pourrait être un exemple du genre de situation dont il est question dans votre question.]

Il existe de nombreux exemples d'estimateurs ML incohérents. L'incohérence est généralement observée avec une variété de problèmes de mélange légèrement compliqués et de problèmes de censure.

[La cohérence d'un test est fondamentalement juste que la puissance du test pour une fausse hypothèse (fixe) augmente à un comme .]$n\to\infty$

Radford Neal donne un exemple dans son article de blog du 2008-08-09 Estimation du maximum de vraisemblance incohérente: un exemple «ordinaire» . Il s'agit d'estimer le paramètre dans:$\theta$

(Neal utilise où j'ai θ ) où l'estimation ML de θ tendra vers 0 comme n → ∞ (et en effet la probabilité peut être beaucoup plus élevée dans un pic près de 0 qu'à la valeur vraie pour des tailles d'échantillon assez modestes). Il n'en reste pas moins qu'il y a un pic proche de la vraie valeur θ , il est juste plus petit que celui proche de 0.$t$$\theta$$\theta$$0$$n\to\infty$$\theta$

Imaginons maintenant deux cas liés à cette situation:

a) effectuer un test de rapport de vraisemblance de contre l'alternative H 1 : θ < θ 0 ;$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta<\theta_0$

b) effectuer un test de rapport de vraisemblance de $H_0: \theta=\theta_0$ contre l'alternative .$H_1: \theta\neq\theta_0$

Dans le cas (a), imaginez que le vrai (de sorte que l'alternative soit vraie et 0 soit l'autre côté du vrai θ ). Alors malgré le fait que la vraisemblance très proche de 0 dépassera celle à θ , la vraisemblance à $\theta<\theta_0$$0$$\theta$$\theta$$\theta$ dépasse néanmoins la probabilité à même dans de petits échantillons, et le rapport continuera de croître plus grand que n → ∞ , dans un tel un moyen de faire passer la probabilité de rejet dans un test de rapport de vraisemblance à 1.$\theta_0$$n\to\infty$

En effet, même dans le cas (b), tant que est fixe et borné à 0 , il devrait également être le cas que le rapport de vraisemblance augmentera de manière à rendre également la probabilité de rejet dans un test de rapport de vraisemblance approche 1.$\theta_0$$0$

Cela semble donc être un exemple d'estimation de ML incohérente, où la puissance d'un LRT devrait néanmoins aller à 1 (sauf lorsque ).$\theta_0=0$

[Notez qu'il n'y a vraiment rien à cela qui ne soit pas déjà dans la réponse de whuber, qui je pense est un exemple de clarté, et est beaucoup plus simple pour comprendre la différence entre la cohérence du test et la cohérence d'un estimateur. Le fait que l'estimateur incohérent dans l'exemple spécifique ne soit pas ML n'a pas vraiment d'importance pour comprendre cette différence - et introduire un estimateur incohérent qui est spécifiquement ML - comme j'ai essayé de le faire ici - ne change pas vraiment la explication de manière substantielle. Le seul vrai point de l'exemple ici est que je pense qu'il répond à votre préoccupation concernant l'utilisation d'un estimateur ML.]

Soit tiré iid d'une distribution normale ( μ , 1 ) . Considérez l'estimateur$(X_n)$$(\mu, 1)$

La distribution de est normale ( μ + 1 , 1 / $T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$. Il converge versμ+1≠μ, ce qui montre qu'il est incohérent.$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$$\mu+1\ne \mu$

En comparant une hypothèse nulle à une alternative simple, disons μ = μ A , le rapport de vraisemblance log sera exactement le même que le LLR basé sur ˉ X au lieu de T . (En effet, T est utile pour comparer l'hypothèse nulle μ + 1 = μ 0 + 1 à l'hypothèse alternative μ + 1 = μ A + 1. ) Puisque le test basé sur la moyenne a une puissance convergente vers 1 pour toute taille de test $\mu=\mu_0$$\mu=\mu_A$$\bar{X}$$T$$T$$\mu+1=\mu_0+1$$\mu+1=\mu_A+1$$1$ et toute taille d'effet, la puissance du test utilisant T lui-même converge également vers 1 .$\alpha\gt 0$$T$$1$