Estimateur non biaisé avec variance minimale pour

Soit un échantillon aléatoire issu d'une distribution pour . C'est à dire, $X_1, ...,X_n$ $Geometric(\theta)$ $0<\theta<1$

p_{θ} (x) = θ (1 - θ)^{x - 1} I_{{1, 2, . . .}} (x)

$p_{\theta}(x)=\theta(1-\theta)^{x-1} I_{\{1,2,...\}}(x)$

Trouver l'estimateur sans biais avec la variance minimale pour $g(\theta)=\frac{1}{\theta}$

Ma tentative:

Comme la distribution géométrique est de la famille exponentielle, les statistiques sont complètes et suffisantes pour . De plus, si est un estimateur de , il est sans biais. Par conséquent, par le théorème de Rao-Blackwell et le théorème de Lehmann-Scheffé, est l'estimateur que nous recherchons.

\sum X_{i}

$\sum X_i$

θ

$\theta$

T (X) = X_{1}

$T(X)=X_1$

g (θ)

$g(\theta)$

W (X) = E [X_{1} | \sum X_{i}]

$W(X) = E[X_1|\sum X_i]$

Nous avons ce qui suit:

$W(X) = \sum_{i=1}^t i\, P(X_1=i|\sum X_i =t) = \sum_{i=1}^t i\, \frac{P(\sum_{i \geq 2} X_i =t-i)P(X_1=i)}{P(\sum_{i \geq 1}X_i =t)}$

Puisque les variables sont géométriques iid, les distributions de sommes sont toutes les deux des binômes négatifs. Mais j'ai du mal à simplifier les coefficients binomiaux et à donner une réponse finale avec une meilleure forme, si cela est possible. Je serais heureux si je pouvais obtenir de l'aide.

Merci!

Edit: Je ne pense pas que vous compreniez mon doute: je pense que j'ai fait toutes les étapes correctes, peut-être seulement oublié une fonction d'indicateur. Voici ce que j'ai fait:

. . . = \sum_{i = 1}^{t} i \frac{(\binom{t - i - 1}{n - 2}) θ^{n - i} (1 - θ)^{t - i - n + 1} θ (1 - θ)^{i - 1}}{(\binom{t - 1}{n - 1}) θ^{n} (1 - θ)^{t - n}} = \sum_{i = 1}^{t} i \frac{(\binom{t - i - 1}{n - 2})}{(\binom{t - 1}{n - 1})}

$...=\sum_{i=1}^ti\frac{\binom{t-i-1}{n-2}\theta^{n-i}(1-\theta)^{t-i-n+1} \theta(1-\theta)^{i-1}}{\binom{t-1}{n-1}\theta^n(1-\theta)^{t-n}}=\sum_{i=1}^t i \frac{\binom{t-i-1}{n-2}}{\binom{t-1}{n-1}}$

Comme je l'ai dit, j'ai du mal à simplifier cela et avec l'index somatory

— Giiovanna
source

En effet pour une variable géométrique , , et le théorème de Rao-Blackwell implique que est l'estimateur sans biais de variance minimale unique. Mais plutôt que d'essayer de calculer directement cette attente conditionnelle, on pourrait remarquer que où que Notez d'ailleurs que, puisque ${\cal G}(\theta)$ $X$

E_{θ} [X] = 1 / θ = g (θ)

$\mathbb{E}_\theta[X]=1/\theta=g(\theta)$

\hat{θ} (T) = E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T]

$\hat{\theta}(T)=\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \dots = E_{θ} [X_{n} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T]

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\ldots=\mathbb{E}_\theta\left[X_n\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E_{θ} [X_{i} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \frac{T}{n}

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}_\theta\left[X_i\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{T}{n}$

\sum_{j \geq 2} X_{j}

$\sum_{j\ge 2} X_j$ est un binôme négatif où la somme finale devrait être

N e g (n - 1, θ)

$\cal{N}eg(n-1,\theta)$

P (\sum_{j \geq 2} X_{j} = m) = (\binom{m - 1}{n - 2}) θ^{n - 1} (1 - θ)^{m - n + 1} I_{m > n - 1}

$\mathbb{P}\left(\sum_{j\ge 2} X_j=m\right)={m-1\choose n-2}\theta^{n-1}(1-\theta)^{m-n+1}\mathbb{I}_{m>n-1}$

\sum_{i = 1}^{t - n + 1} i (\binom{t - i - 1}{n - 2}) / (\binom{t - 1}{n - 1})

$\sum_{i=1}^{t-n+1} i {\binom{t-i-1}{n-2}}\bigg/{\binom{t-1}{n-1}}$

— Xi'an
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