Pourquoi devez-vous fournir un modèle de variogramme lorsque vous faites du krigeage?

Je suis très nouveau dans les statistiques spatiales et je regarde beaucoup de tutoriels,

Mais je ne comprends pas vraiment pourquoi vous devez fournir un modèle de variogramme lorsque vous krige.

J'utilise le paquet gstat dans R, et voici l'exemple qu'ils donnent:

library(sp)
data(meuse)
coordinates(meuse) = ~x+y
data(meuse.grid)
str(meuse.grid)
gridded(meuse.grid) = ~x+y
m <- vgm(.59, "Sph", 874, .04)
print(m)
# ordinary kriging:
x <- krige(log(zinc)~1, meuse, meuse.grid, model = m)

Quelqu'un peut-il expliquer en quelques lignes pourquoi vous devez d'abord fournir vgm? Et comment définissez-vous les paramètres?

Merci d'avance! Kasper

Introduction et résumé

La loi de Tobler sur la géographie affirme

Tout est lié à tout le reste, mais les choses proches sont plus liées que les choses éloignées.

Le krigeage adopte un modèle de ces relations dans lesquelles

• Les «choses» sont des valeurs numériques à des emplacements sur la surface de la terre (ou dans l'espace), généralement représentées comme un plan euclidien.

• Ces valeurs numériques sont supposées être des réalisations de variables aléatoires.

• "Relié" est exprimé en termes de moyennes et de covariances de ces variables aléatoires.

(Un ensemble de variables aléatoires associées à des points dans l'espace est appelé «processus stochastique».) Le variogramme fournit les informations nécessaires pour calculer ces covariances.

Qu'est-ce que le krigeage

Le krigeage est précisément la prédiction de choses à des endroits où elles n'ont pas été observées. Pour rendre le processus de prédiction mathématiquement traitable, le krigeage limite les formules possibles à des fonctions linéaires des valeurs observées. Cela rend le problème fini pour déterminer quels devraient être les coefficients. Ceux-ci peuvent être trouvés en exigeant que la procédure de prédiction ait certaines propriétés. Intuitivement, une excellente propriété est que les différences entre le prédicteur et la valeur vraie (mais inconnue) devraient avoir tendance à être petites: c'est-à-dire que le prédicteur doit être précis . Une autre propriété très vantée mais plus discutable est qu'en moyenne le prédicteur doit être égal à la vraie valeur: il doit être précis .

(La raison pour laquelle insister sur une précision parfaite est discutable - mais pas nécessairement mauvaise - est qu'elle rend généralement toute procédure statistique moins précise: c'est-à-dire plus variable. Lorsque vous tirez sur une cible, préférez-vous répartir les coups uniformément autour du bord et frapper rarement le centre ou accepteriez-vous des résultats qui sont concentrés juste à côté, mais pas exactement sur le centre? Le premier est précis mais imprécis tandis que le second est inexact mais précis.)

Ces hypothèses et critères - que les moyennes et les covariances sont des moyens appropriés de quantifier la parenté, qu'une prédiction linéaire fonctionnera et que le prédicteur devrait être aussi précis que possible sous réserve d'être parfaitement exact - conduisent à un système d'équations qui a un solution unique à condition que les covariances aient été spécifiées de manière cohérente . Le prédicteur résultant est ainsi appelé "BLUP": meilleur prédicteur linéaire sans biais.

Où le variogramme entre en jeu

Pour trouver ces équations, il faut opérationnaliser le programme qui vient d'être décrit. Cela se fait en notant les covariances entre le prédicteur et les observations considérées comme des variables aléatoires. L' algèbre des covariances fait que les covariances entre les valeurs observées entrent également dans les équations de Krigeage.

À ce stade, nous atteignons une impasse, car ces covariances sont presque toujours inconnues. Après tout, dans la plupart des applications, nous n'avons observé qu'une seule réalisation de chacune des variables aléatoires: à savoir notre ensemble de données, qui ne constitue qu'un seul numéro à chaque emplacement distinct. Entrez le variogramme: cette fonction mathématique nous indique quelle devrait être la covariance entre deux valeurs quelconques. Il est contraint de veiller à ce que ces covariances soient "cohérentes" (dans le sens où elles ne donneront jamais un ensemble de covariances mathématiquement impossibles: toutes les collections de mesures numériques de "parenté" ne formeront pas de véritables matrices de covariance ). C'est pourquoi un variogramme est essentiel au Kriging.

Références

Parce que la question immédiate a été répondue, je m'arrête ici. Les lecteurs intéressés peuvent apprendre comment les variogrammes sont estimés et interprétés en consultant de bons textes tels que Journel & Huijbregts ' Mining Geostatistics (1978) ou Isaaks & Srivastava's Applied Geostatistics (1989). (Notez que le processus d'estimation introduit deux objets appelés "variogrammes": un variogramme empirique dérivé des données et un variogramme de modèle qui lui est adapté. Toutes les références au "variogramme" dans cette réponse sont au modèle. L'appel à vgmla question renvoie une représentation informatique d'un variogramme de modèle.) Pour une approche plus moderne dans laquelle l'estimation du variogramme et le Krigeage sont combinés de manière appropriée, voir Diggle &Géostatistique basée sur un modèle (2007) (qui est également un manuel étendu pour les Rpackages GeoRet GeoRglm).

commentaires

Par ailleurs, que vous utilisiez le krigeage pour la prédiction ou un autre algorithme, la caractérisation quantitative de la parenté offerte par le variogramme est utile pour évaluer toute procédure de prédiction. Notez que toutes les méthodes d'interpolation spatiale sont des prédicteurs de ce point de vue - et beaucoup d'entre eux sont des prédicteurs linéaires, tels que IDW (Inverse Distance Weighted). Le variogramme peut être utilisé pour évaluer la valeur moyenne et la dispersion (écart-type) de n'importe laquelle des méthodes d'interpolation. Il a donc une applicabilité bien au-delà de son utilisation dans Kriging.