Chaque matrice définie semi-positive correspond-elle à une matrice de covariance?

Il est bien connu qu'une matrice de covariance doit être définie semi-positive, mais l'inverse est-il vrai?

Autrement dit, chaque matrice définie semi-positive correspond-elle à une matrice de covariance?

covariance matrix

— Jingjings
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En suivant les définitions de PD et PSD ici , oui, je pense que oui, car nous pouvons le faire par construction. Je suppose pour un argument un peu plus simple que vous voulez dire pour les matrices avec des éléments réels, mais avec des changements appropriés, cela s'étendrait aux matrices complexes.

Soit une vraie matrice PSD; d'après la définition à laquelle je suis lié, il sera symétrique. Toute matrice réelle symétrique définie positive peut être écrit sous la forme . Cela peut être fait par $A$ $A$ $A = LL^T$ siavec orthogonaleet diagonaleet $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ en tant que matrice de racines carrées sages composantes de. Ainsi, il n'a pas besoin d'être complet. $\sqrt{D}$ $D$

Soit une variable aléatoire vectorielle, de dimension appropriée, avec la matrice de covariance (qui est facile à créer). $Z$ $I$

Puis a covariance matrice . $LZ$ $A$

[Au moins c'est en théorie. Dans la pratique, il y aurait divers problèmes numériques à résoudre si vous vouliez de bons résultats et - en raison des problèmes habituels avec le calcul en virgule flottante - vous n'obtiendrez qu'environ ce dont vous avez besoin; qui est, la variance de la population d'une calculée ne serait habituellement pas exactement . Mais ce genre de chose est toujours un problème quand on arrive à calculer les choses] $LZ$ $A$

— Glen_b -Reinstate Monica
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S'il est vrai qu'une décomposition

est possible sans rang complet, l'algorithme de Cholesky ne fonctionne qu'avec

normal . Donc, sans rang complet, il ne peut pas s'agir d'une décomposition de Cholesky. Calculativement, on pourrait faire cette décomposition au cas singulier par diagonalisation. (Bien que ce soit beaucoup plus cher)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— Horst Grünbusch

@Horst: Pourquoi

être triangulaire inférieur?

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— amibe dit Réintégrer Monica

@amoeba Bien que l'on puisse l'organiser tel quel, il n'est pas nécessaire qu'il soit triangulaire inférieur pour que l'argument fonctionne - c'est une caractéristique du Cholesky mais ce n'est pas nécessaire pour que le résultat fonctionne.

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen Est-ce que la symétrie est une condition nécessaire pour être PSD ou cette définition est-elle une des nombreuses?

— 114

@ 114 pour la relation entre symétrique et PSD voir math.stackexchange.com/questions/516533/…

— Frank