Attente d'un Gamma carré

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Si une distribution Gamma est paramétrée avec $\alpha$ et $\beta$ , alors:

E (Γ (α, β)) = \frac{α}{β}

$E(\Gamma(\alpha, \beta)) = \frac{\alpha}{\beta}$

Je voudrais calculer l'espérance d'un Gamma carré, c'est-à-dire:

E (Γ (α, β)^{2}) = ?

$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = ?$

Je pense que c'est:

E (Γ (α, β)^{2}) = {(\frac{α}{β})}^{2} + \frac{α}{β^{2}}

$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2 + \frac{\alpha}{\beta^2}$

Est-ce que quelqu'un sait si cette dernière expression est correcte?

expected-value gamma-distribution

— Joshua
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Cela était lié à une étude de simulation sur laquelle je travaille où je dessine des écarts-types à partir d'un gamma, puis je voulais la moyenne des variances (c.-à-d., Gammas au carré).

— Joshua

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L'espérance du carré de toute variable aléatoire est sa variance plus son espérance au carré, comme

. $\mathbb{D}^2(X)=\mathbb{E}([X-\mathbb{E}(X)]^2)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2 \Rightarrow \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{D}^2(X)+[\mathbb{E}(X)]^2$

L'espérance de la distribution paramétrée comme ci-dessus est (comme vous l'avez mentionné), la variance est , donc, l'espérance de son carré est $\Gamma$ $\alpha/\beta$ $\alpha/\beta^2$

. $(\alpha/\beta)^2+\alpha/\beta^2$

C'est-à-dire: vous avez raison.

— Tamas Ferenci
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J'apprécie la réponse, bien que je ne sois pas sûr de suivre votre équation --- si vous la suivez par D2 (X) finit par égaler D2 (X) + E (X) ^ 2

— Joshua

3

Cette ligne n'est pas une seule équation! Remarquez la flèche au milieu. La première partie (sur le côté gauche de la flèche) est une équation qui implique la deuxième équation (sur le côté droit de la flèche). (En ajoutant

des deux côtés.)

[E (X)]^{2}

$[\mathbb{E}(X)]^2$

— Tamas Ferenci

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Par souci d'exhaustivité, je vais calculer directement les moments bruts à partir de la densité. Premièrement, sous une paramétrisation forme / vitesse, la distribution gamma a la densité On considérera comme acquis que pour tout choix de paramètres , on a

F_{X} (X) = \frac{β^{α} X^{α - 1} e^{- β X}}{Γ (α)}, X > 0.

$f_X(x) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, \quad x > 0.$

α, β > 0

$\alpha, \beta > 0$

bien que ce résultat soit facilement dérivé de l'identité

\int_{X = 0}^{\infty} F_{X} (X) ré X = 1,

$\int_{x=0}^\infty f_X(x) \, dx = 1,$

Il s'ensuit alors que pour un entier positif

,

\int_{z = 0}^{\infty} X^{z - 1} e^{- z} ré z = Γ (z) .

$\int_{z=0}^\infty x^{z-1} e^{-z} \, dz = \Gamma(z).$

k

$k$

où à l'avant-dernière étape, nous observons que l'intégrale est égale à

car elle est l'intégrale d'une densité gamma de paramètres

et

. Pour

, on obtient immédiatement

\begin{aligned} E [X^{k}] & = \int_{X = 0}^{\infty} X^{k} F_{X} (X) ré X \\ = \frac{1}{Γ (α)} \int_{X = 0}^{\infty} β^{α} X^{α + k - 1} e^{- β X} ré X \\ = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)} \int_{X = 0}^{\infty} \frac{β^{α + k} X^{α + k - 1} e^{- β X}}{Γ (α + k)} ré X \\ = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)}, \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{E}[X^k] &= \int_{x=0}^\infty x^k f_X(x) \, dx \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \beta^\alpha x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^{\alpha+k} x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha+k)} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}, \end{align*}$

1

$1$

α + k

$\alpha+k$

β

$\beta$

k = 2

$k = 2$

Une autre approche consiste à utiliser la fonction de génération de moment:

E [X^{2}] = \frac{Γ (α + 2)}{β^{2} Γ (α)} = \frac{(α + 1) α}{β^{2}} .

$\mathrm{E}[X^2] = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^2 \Gamma(\alpha)} = \frac{(\alpha+1)\alpha}{\beta^2}.$

\begin{aligned} M_{X} (t) = E [e^{t X}] & = \int_{X = 0}^{\infty} \frac{β^{α} X^{α - 1} e^{- β X + t X}}{Γ (α)} ré X \\ = \frac{β^{α}}{(β - t)^{α}} \int_{X = 0}^{\infty} \frac{(β - t)^{α} X^{α - 1} e^{- (β - t) X}}{Γ (α)} ré X \\ = (\frac{β}{β - t})^{α}, t < β, \end{aligned}

$\begin{align*} M_X(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] &= \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x + tx}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \frac{\beta^\alpha}{(\beta-t)^\alpha} \int_{x=0}^\infty \frac{(\beta-t)^\alpha x^{\alpha-1} e^{-(\beta-t)x}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \biggl(\frac{\beta}{\beta-t}\biggr)^{\!\alpha}, \quad t < \beta, \end{align*}$ où la condition sur

est requise pour que l'intégrale converge. Nous pouvons réécrire ceci comme

et il s'ensuit que

t

$t$

M_{X} (t) = (1 - t / β)^{- α},

$M_X(t) = (1 - t/\beta)^{-\alpha},$

E [X^{k}] = {[\frac{{ré}^{k} M_{X} (t)}{ré t^{k}}]}_{t = 0} = {[(1 - t / β)^{- α - k}]}_{t = 0} \prod_{j = 0}^{k - 1} \frac{α + j}{β} = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)} .

$\mathrm{E}[X^k] = \left[ \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right]_{t=0} = \left[(1-t/\beta)^{-\alpha-k}\right]_{t=0} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{\alpha+j}{\beta} = \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}.$

— heropup
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Dérivation très claire et utile.

— Joshua