Dériver la distribution bivariée de Poisson

J'ai récemment rencontré la distribution bivariée de Poisson, mais je suis un peu confus quant à la façon de la dériver.

La distribution est donnée par:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

D'après ce que je peux comprendre, le terme $\theta_{0}$ est une mesure de corrélation entre $X$ et $Y$ ; par conséquent, lorsque $X$ et $Y$ sont indépendants, $\theta_{0} = 0$ et la distribution devient simplement le produit de deux distributions de Poisson univariées.

Dans cet esprit, ma confusion repose sur le terme de sommation - Je suppose ce terme explique la corrélation entre $X$ et $Y$ .

Il me semble que la sommation constitue une sorte de produit de fonctions de distribution cumulative binomiale où la probabilité de "succès" est donnée par $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ et la probabilité de "panne" est donnée par $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , car $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$, mais je pourrais être loin avec ça.

Quelqu'un pourrait-il fournir de l'aide sur la façon dont cette distribution peut être dérivée? De plus, si l'on pouvait inclure dans n'importe quelle réponse comment ce modèle pourrait être étendu à un scénario à plusieurs variables (disons trois variables aléatoires ou plus), ce serait formidable!

(Enfin, j'ai noté qu'il y avait une question similaire postée auparavant ( Comprendre la distribution bivariée de Poisson ), mais la dérivation n'a pas été réellement explorée.)

Dans une présentation de diapositives , Karlis et Ntzoufras définissent un Poisson bivarié comme la distribution de où les ont indépendamment des distributions de Poisson . Rappelons qu'avoir un tel moyen de distributionX i θ $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

pour$k=0, 1, 2, \ldots.$

L'événement est l'union disjointe des événements$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

pour tous les qui font des trois composantes des entiers non négatifs, dont on peut déduire que . Parce que les sont indépendants, leurs probabilités se multiplient, d'où0 ≤ i ≤ min ( x , y ) X $i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Ceci est une formule; nous avons fini. Mais pour voir qu'elle est équivalente à la formule de la question, utilisez la définition de la distribution de Poisson pour écrire ces probabilités en termes de paramètres et (en supposant qu'aucun de est nul) retravaillez-le algébriquement pour ressembler autant que possible au produit :θ 1 , θ 2 Pr ( X 1 = x ) Pr ( X 2 = y $\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

Si vous voulez vraiment - c'est quelque peu suggestif - vous pouvez ré-exprimer les termes dans la somme en utilisant les coefficients binomiaux Et , donnant$\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

exactement comme dans la question.

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La généralisation aux scénarios multivariés pourrait se dérouler de plusieurs manières, selon la flexibilité nécessaire. Le plus simple envisagerait la distribution de

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

pour les variables indépendantes de Poisson réparties . Pour plus de flexibilité, des variables supplémentaires pourraient être introduites. Par exemple, utilisez des variables indépendantes Poisson et considérez la distribution multivariée de ,$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

Voici un moyen de dériver la distribution bivariée de poisson.

Soit des variables aléatoires de poisson indépendantes avec les paramètres . Ensuite, nous définissons . La variable , commune aux deux et , entraîne la la paire . Ensuite, nous devons calculer la fonction de masse de probabilité:$X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$$(Y_1, Y_2)$

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
J'espère que cela vous aidera!