Hyper-volume du contour d'un gaussien multivarié

Je cherche la valeur asymptotique ( ) de (le log du déterminant de) la covariance du % d'observations avec la plus petite distance euclédienne à l'origine dans un échantillon de taille tiré de, disons , un gaussien standard bivarié. $n\rightarrow \infty$ $\alpha$ $n$

- L'hyper-volume d'une ellipse est proportionnel au déterminant de sa matrice de covariance, d'où le titre .--

--Par Gaussien bivarié standard, je veux dire où est un vecteur de 0 de longueur 2 et est la matrice d'identité de rang 2 .--- $\mathcal{N}_2(0_2,\pmb I_2)$ $0_2$ $\pmb I_2$

Il est facile de voir par des simulations que lorsque le nombre est d'environ : $\alpha=52/70$ $\approx -1.28$

library(MASS)
n<-10000
p<-2
x<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(2))
h<-ceiling(0.714286*n)
p<-ncol(x)
w<-mahalanobis(x,rep(0,p),diag(p),inverted=TRUE) #These are eucledian distances, because the covariance used is the identity matrix
s<-(1:n)[order(w)][1:h]
log(det(cov(x[s,])))

mais je ne me souviens pas comment obtenir une expression exacte (ou à défaut, une meilleure approximation) pour cela.

r mathematical-statistics simulation

— user603
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Dans votre texte, vous ne dites rien des paramètres de la distribution bivariée. En outre, il semble que votre code concerne Mahalanobis d, pas Euclidean d.

— ttnphns

Par gaussien standard, je veux dire celui centré à l'origine et avec la covariance d'identité (je vais l'éditer dans). Distance de Mahalanobis par rapport à la matrice de covariance d'identité == distances euclédiennes.

— user603

Si vous utilisez du code ou cherchez de l'aide avec le code, veuillez indiquer la langue ou le programme que vous utilisez.

— wolfies

Ok, cette question semble se poser de temps en temps, donc je pense que je vais donner une réponse générale.

Dans [1], les auteurs montrent que si with symmetric positive definite, and $\pmb x_i\sim \mathcal{N}_p(\pmb \mu,\pmb \varSigma),i=1,\ldots,n$ $\varSigma$ $S_{\alpha}$

\begin{matrix} (0) & S_{α} = {i : (x x_{i} - μ μ)^{'} Σ^{- 1} (x x_{i} - μ μ) ⩽ q_{α}} \end{matrix}

$S_{\alpha}=\{i: (\pmb x_i-\pmb\mu)'\varSigma^{-1}(\pmb x_i-\pmb\mu)\leqslant q_{\alpha}\}\label{a}\tag{0}$

pour et $q_{\alpha}=\chi^2_{p}(\alpha),\;0<\alpha\leqslant 1$

\begin{matrix} (1) & C_{α} = {cov}_{i \in S_{α}} x x_{i} \end{matrix}

$C_{\alpha}=\mbox{cov}_{i\in S_{\alpha}}\pmb x_i\label{b}\tag{1}$

Ensuite, asymptotiquement, converge vers où $C_{\alpha}$ $l_{\alpha}\varSigma$

\begin{matrix} (2) & l_{α} = \frac{F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})}}{α} \end{matrix}

$l_{\alpha}=\frac{ F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})} }{\alpha}\label{c}\tag{2}$

Cette approximation est vraiment bonne (ici pour alpha = 60/70):

library(MASS)
alpha<-60/70
p<-2
n<-1000000

radius<-sqrt(qchisq(alpha,df=p))
x0<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(p),empirical=TRUE)
Id<-which(rowSums(x0*x0)<=radius**2)
cov(x0[Id,])

qalpa<-qchisq(alpha,p)
diag(1/(alpha/(pchisq(qalpa,p+2))),p)

Donc, enfin, pour répondre à la question, le déterminant de la matrice de covariance des observations avec la plus petite norme euclédienne à l'origine (c'est le cas particulier où et ) est donné par: $\log$ $[\alpha n]$ $\varSigma=\pmb I_p$ $\pmb \mu=\pmb 0_p$

\begin{matrix} (3) & p \log F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})} - p \log α \end{matrix}

$p\log F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})}-p\log\alpha\label{d}\tag{3}$

Croux C., Haesbroeck G. (1999). Influence la fonction et l'efficacité de l'estimateur à matrice de diffusion du déterminant de covariance minimale. Journal of Multivariate Analysis. 71. 161--190.

— user603
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