Soit avec la signification que le rv est normal avec la moyenne
et l'écart type . Considérant , nous savons qu'il existe deux séquences
et telles queXi∼i.i.dLNorm(μ,σ)logXiμσMn:=max1⩽i⩽nXian>0bn
Mn−bnan→Gum(0,1)(1)
où désigne la distribution de Gumbel avec l'emplacement et l'échelle . Cela signifie que
pour tout .Gum(ν,β)νβFMn(anx+bn)→FGum(x;0,1)x
De toute évidence, les deux séquences et dépendent de et
, elles pourraient donc être désignées comme et
. Par exemple, si est remplacé par
alors la distribution de est remplacée par celle de et la distribution de est remplacée par celle de , ce qui implique que
et doivent être remplacés par et pour maintenir la même limite. De même, si nous remplaçonsanbnμσan(μ,σ)bn(μ,σ)μμ+1XieXiMneMnanbneanebnμpar avec
inchangé, doit être remplacé par puis
et doivent être remplacés par et .0σXie−μXianbne−μane−μbn
La question peut être formulée comme suit: si nous utilisons les séquences
et sur le côté gauche de (1) - au lieu du
et - obtenons-nous
sur le côté droit? La réponse est alors non, car les paramètres du Gumbel sont en effet des paramètres de localisation et d'échelle, alors que ce n'est pas vrai pour le log-normal. Le paramètre
de la log-normale affecte la queue, comme le montre le fait que le coefficient de variation augmente avec . Alors que
reste toujours dans le domaine d'attraction de Gumbel, les séquencesan(0,1)bn(0,1)an(μ,σ)bn(μ,σ)Gum(μ,σ)σσLNorm(μ,σ)anet doit avoir tendance à plus rapidement à mesure que augmente. On peut prouver que dans (1) on peut utiliser des séquences et telles que voir Embrechts P., Klüppelberg C. et Mikosch T. tableau 3.4.4 pp 155 -157. Si nous utilisons des séquences et avec un erroné , nous n'obtiendrons pas de limite non dégénérée pour le côté gauche de (1), car les taux de croissance de et ne conviennent alors pas pour la queue debn∞σanbnbn(μ,σ)=eμbn(0,1)σ,an(μ,σ)=σ(2logn)−1/2bn(μ,σ),
anbnσanbnXi .